設f(x)=
ax
+xlnx,g(x)=x3-x2-3.
(1)當a=2時,求曲線y=f(x)在x=1處的切線的斜率;
(2)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M.
分析:(1)當a=2時,f(x)=
2
x
+xlnx,根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x=1處的導數(shù),從而求出切線的斜率;
(2)存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,利用導數(shù)求出函數(shù)g(x)的最大值和最小值,然后求出g(x)max-g(x)min,從而求出滿足條件的最大整數(shù)M.
解答:解:(1)當a=2時,f(x)=
2
x
+xlnx,f′(x)=-
2
x2
+lnx+1,
∴f(1)=2,f′(1)=-1.
∴y=f(x)在x=1處的切線斜率為-1;
(2)存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立
g(x)=x3-x2-3,g′(x)=3x2-2x=3x(x-
2
3

當x∈(0,
2
3
)時,g′(x)<0,當x∈(
2
3
,2)時,g′(x)>0,
∴g(x)min=g(
2
3
)=-
85
27
,g(x)max=g(2)=1
g(x)max-g(x)min=
112
27

∴滿足條件的最大整數(shù)M=4
點評:本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,以及函數(shù)恒成立問題和利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,同時考查了轉化與化歸的思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=ax+bx-cx,其中c>a>0,c>b>0.若a,b,c是△ABC的三條邊長,則下列結論正確的是
①②③
①②③
.(寫出所有正確結論的序號)
①?x∈(-∞,1),f(x)>0;
②?x∈R,使ax,bx,cx不能構成一個三角形的三條邊長;
③若△ABC為鈍角三角形,則?x∈(1,2),使f(x)=0.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設f(x)=ax(a>0且a≠1),g(x)為f(x)的反函數(shù).
(1)當a=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時,求函數(shù)y=f(x)-x的最小值;
(2)試證明:當f(x)與g(x)的圖象的公切線為一、三象限角平分線時,a=e
1e

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2006•靜安區(qū)二模)設函數(shù)f(x)=ax+3a(其中a>0且a≠1).
(1)求函數(shù)y=f-1(x)的解析式;
(2)設g(x)=loga(x-a),是否存在實數(shù)a,使得當x∈[a+2,a+3]時,恒有|f-1(x)+g(x)|≤1成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設函數(shù)f(x)=ax+3a(其中a>0且a≠1).
(1)求函數(shù)y=f-1(x)的解析式;
(2)設g(x)=loga(x-a),是否存在實數(shù)a,使得當x∈[a+2,a+3]時,恒有|f-1(x)+g(x)|≤1成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年重慶一中高三(上)入學摸底數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

設f(x)=ax(a>0且a≠1),g(x)為f(x)的反函數(shù).
(1)當a=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時,求函數(shù)y=f(x)-x的最小值;
(2)試證明:當f(x)與g(x)的圖象的公切線為一、三象限角平分線時,

查看答案和解析>>

同步練習冊答案