Question

已知圓C：x²+y²-6mx-2（m-1）y+10m²-2m-24=0，直線l：x-3y-3=0，m∈R，O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ） 求證：任何一條與直線?平行且與圓C相交的直線被圓C截得的弦長與m無關(guān)；
（Ⅱ） 當(dāng)m=-1時，圓C與垂直于直線?的一直線l₁交于A、B兩點，若OA⊥OB，求直線l₁的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出與直線?平行的直線的方程：x-3y+n=0，利用點到直線的距離公式表示出圓心到此直線的距離整理后發(fā)現(xiàn)不含有參數(shù)m故可得結(jié)論．
（Ⅱ）由題意設(shè)出設(shè)直線l₁：y=-3x+b，與圓的方程：（x+3）²+（y+2）²=25聯(lián)立，求得兩根之和與兩根之積，代入x₁x₂+y₁y₂=0即可得到關(guān)于參數(shù)b的方程，求出其值即可得直線l₁的方程

解答：解：（Ⅰ）證明：圓C：（x-3m）²+（y-（m-1））²=25，圓心為（3m，（m-1）），r=5
設(shè)直線x-3y+n=0∴d=

|3m-3(m-1)+n|

10

=

|3+n|

10

弦長=2

25-d2?

=2

25- (3+n)2 10 ?

與m無關(guān)
（Ⅱ）圓：（x+3）²+（y+2）²=25，設(shè)直線y=-3x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
可得：

x2+y2+6x+4y-12=0 y=-3x+b

∴10x2-(6b+6)x+b2+4b-12=0x1x2=

b2+4b-12

10

，y1y2=9x1x2-3b(x1+x2)+b2
=

b2+18b-108

10

∵OA⊥OB∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴b²+11b-60=0∴b=-15或b=4∴y=-3x-15或y=-3x+4

點評：本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，求解的重點是設(shè)出直線的方程根據(jù)所給的關(guān)系建立方程求參數(shù)，此題由幾何位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求參數(shù)，此是解析幾何的一大重要特征．本題運算較繁瑣，容易出錯，做題時要嚴(yán)謹(jǐn)，以防出錯．