已知數(shù)列{
an}滿足
a1=3,
an+1=
an+
p·3
n(
n∈N
*,
p為常數(shù)),
a1,
a2+6,
a3成等差數(shù)列.
(1)求
p的值及數(shù)列{
an}的通項公式;
(2)設數(shù)列{
bn}滿足
bn=
,證明:
bn≤
.
(1)
an=3
n(2)
由
a1=3,
an+1=
an+
p·3
n,得
a2=3+3
p,
a3=
a2+9
p=3+12
p.
∵
a1,
a2+6,
a3成等差數(shù)列,∴
a1+
a3=2(
a2+6),即3+3+12
p=2(3+3
p+6),得
p=2.
依題意知,
an+1=
an+2×3
n,
當
n≥2時,
a2-
a1=2×3
1,
a3-
a2=2×3
2,…,
an-
an-1=2×3
n-1.
等號兩邊分別相加得
an-
a1=2(3
1+3
2+…+3
n-1)=2×
=3
n-3,
∴
an-
a1=3
n-3,∴
an=3
n(
n≥2).
又
a1=3適合上式,故
an=3
n.
(2)證明:∵
an=3
n,∴
bn=
.
∵
bn+1-
bn=
-
=
(
n∈N
*).
若-2
n2+2
n+1<0,則
n>
,
即當
n≥2時,有
bn+1<
bn.
又因為
b1=
,
b2<
.故
bn≤
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
在等差數(shù)列
和等比數(shù)列
中,
,
,
是
前
項和.
(1)若
,求實數(shù)
的值;
(2)是否存在正整數(shù)
,使得數(shù)列
的所有項都在數(shù)列
中?若存在,求出所有的
,若不存在,說明理由;
(3)是否存在正實數(shù)
,使得數(shù)列
中至少有三項在數(shù)列
中,但
中的項不都在數(shù)列
中?若存在,求出一個可能的
的值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知等差數(shù)列
,公差
,前n項和為
,
,且滿足
成等比數(shù)列.
(I)求
的通項公式;
(II)設
,求數(shù)列
的前
項和
的值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知數(shù)列{
an}滿足
an+1=
+
,且
a1=
,則該數(shù)列的前2 013項的和等于( ).
A. | B.3019 | C.1508 | D.013 |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d≠0,Sn為其前n項和,若a1,a2,a5成等比數(shù)列,則S8=________.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知{
}為等差數(shù)列,若
,
,則
________.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知
n∈N
*,數(shù)列{
dn}滿足
dn=
,數(shù)列{
an}滿足
an=
d1+
d2+
d3+…+
d2n,又知在數(shù)列{
bn}中,
b1=2,且對任意正整數(shù)
m,
n,
.
(1)求數(shù)列{
an}和數(shù)列{
bn}的通項公式;
(2)將數(shù)列{
bn}中的第
a1項,第
a2項,第
a3項,…,第
an項,…刪去后,剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列{
cn},求數(shù)列{
cn}的前2 013項和.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
設
Sn是等差數(shù)列{
an}的前
n項和,
a1=2,
a5=3
a3,則
S9=( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
對于各項均為整數(shù)的數(shù)列
,如果
為完全平方數(shù),則稱數(shù)列
具有“
性質”,不論數(shù)列
是否具有“
性質”,如果存在與
不是同一數(shù)列的
,且
同時滿足下面兩個條件:
(1)
是
的一個排列;(2)數(shù)列
具有“
性質”,則稱數(shù)列
具有“變換
性質”。給出下面三個數(shù)列:
①數(shù)列
的前
項和;
②數(shù)列1,2,3,4,5;
③數(shù)列1,2,3,… 11.
其中具有“
性質”或具有“變換
性質”的為
.(寫出所有正確的序號).
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