Question

.數(shù)列滿足：，且
（1）設(shè)，證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明.

Answer 1

(1) 見解析； (2)  ；    (3)證明:見解析。

(1) 由,
從而證明是等差數(shù)列.
(2)在（1）的基礎(chǔ)上，可先求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)求出的通項(xiàng)公式.
（3）先求出
下面解題的關(guān)鍵是確定,
然后再考慮數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.
(1) ,
為等差數(shù)列                   
(2)由(1),從而     
(3)
,當(dāng)時(shí),,不等式的左邊=7,不等式成立
有當(dāng)時(shí),                      
故只要證,           
如下用數(shù)學(xué)歸納法給予證明:
①當(dāng)時(shí),,時(shí),不等式成立;
②假設(shè)當(dāng)時(shí),成立
當(dāng)時(shí),
只需證: ,即證:     
令,則不等式可化為:
即
令,則
在上是減函數(shù)
又在上連續(xù), ,故
當(dāng)時(shí),有
當(dāng)時(shí),所證不等式對(duì)的一切自然數(shù)均成立
綜上所述,成立.