Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線x²-y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為定值，且cos∠F₁PF₂的最小值為-

1

3

，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

3

+y2=1

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓定義可知，所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，再結(jié)合余弦定理、基本不等式，即可求出橢圓中的a，b的值．

解答：解：（1）∵x²-y²=1，∴c=

2

．設(shè)|PF₁|+|PF₂|=2a（常數(shù)a＞0），2a＞2c=2

2

，∴a＞

2

由余弦定理有cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

2a2-4

|PF1||PF2|

-1
∵|PF₁||PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²，
∴當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|時(shí)，|PF₁||PF₂|取得最大值a²．
此時(shí)cos∠F₁PF₂取得最小值為

2a2-4

a2

-1，
由題意

2a2-4

a2

-1=-

1

3

，解得a²=3，
∴b²=a²-c²=3-2=1
∴P點(diǎn)的軌跡方程為

x2

3

+y2=1．
故答案為：

x2

3

+y2=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求軌跡方程，考查余弦定理、基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．