Question

【題目】已知函數(shù) ．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（3）對任意，恒有，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， （2）函數(shù)取得最大值 （3）

【解析】

（1）將代入函數(shù),去掉絕對值得到分段函數(shù),然后分別求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）,則,對函數(shù)求導(dǎo),判斷單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性即可得出函數(shù)在區(qū)間上的最大值.

（3）由（1）（2）得,，分情況討論、時函數(shù)的單調(diào)性，從而得出實數(shù)的取值范圍．

（1）當(dāng)時, ,

若時,則,令,解得；

若時,則恒成立,所以,

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，．

（2）若,當(dāng)時, ,．

令,解得或．

列表如下：

當(dāng)時,函數(shù)取得最大值．

（3）由（1）（2）得,．

①當(dāng)時,即時,

,即．

因為在上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時, 取得最小值,

所以,解得,又,所以．

②當(dāng)即時,

當(dāng)時,,即,

與矛盾,

所以,實數(shù)的取值范圍為．