已知數(shù)列{an}中a1=
2
3
a2=
8
9
.當(dāng)n≥2時3an+1=4an-an-1.(n∈N*
(Ⅰ)證明:{an+1-an}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項;
(Ⅲ)若對任意n∈N*λa1a2a3an≥1(λ∈N*)均成立,求λ的最小值.
分析:(Ⅰ)數(shù)列{an}中a1=
2
3
a2=
8
9
.當(dāng)n≥2時3an+1=4an-an-1.(n∈N*),由此能夠證明{an+1-an}是等比數(shù)列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知an+1-an=
2
9
(
1
3
)n-1
,故an-an-1=
2
9
(
1
3
)n-2
,an-1-an-2=
2
9
(
1
3
)n-3
,…a2-a1=
2
9
(
1
3
)0
,由累加法能夠求出數(shù)列{an}的通項公式.
(Ⅲ)若對任意n∈N*,有λa1a2a3an≥1(λ∈N*)均成立,則λ≥
1
a1a2a3an
在n∈N*時恒成立.故需求(1-
1
3
)•(1-
1
32
)•…•(1-
1
3n
)
在n∈N*上的最小值.由此能求出λ的最小值.
解答:(Ⅰ)證明:∵數(shù)列{an}中,a1=
2
3
a2=
8
9

當(dāng)n≥2時3an+1=4an-an-1.(n∈N*
∴當(dāng)n≥2時3an+1-3an=an-an-1,
an+1-an=
1
3
(an-an-1)

所以{an+1-an}是以a2-a1=
2
9
為首項,以
1
3
為公比的等比數(shù)列.…(4分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知an+1-an=
2
9
(
1
3
)n-1
,
an-an-1=
2
9
(
1
3
)n-2
,
an-1-an-2=
2
9
(
1
3
)n-3
,

a2-a1=
2
9
(
1
3
)0
,
累加得an-a1=
1
3
-(
1
3
)n
,
所以an=1-(
1
3
)n
.…(9分)
(Ⅲ)解:若對任意n∈N*λa1a2a3an≥1(λ∈N*)均成立,
λ≥
1
a1a2a3an
在n∈N*時恒成立.
故需求(1-
1
3
)•(1-
1
32
)•…•(1-
1
3n
)
在n∈N*上的最小值.
現(xiàn)證n∈N*時有(1-
1
3
)•(1-
1
32
)•…•(1-
1
3n
)
1
2

顯然,左端每個因式都是正數(shù),
先證明,對每個n∈N*,有(1-
1
3
)•(1-
1
32
)•…•(1-
1
3n
)
≥1-(
1
3
+
1
32
+…+
1
3n

用數(shù)學(xué)歸納法證明上式:
(。﹏=1時,上式顯然成立,
(ⅱ)假設(shè)n=k時,結(jié)論成立,
(1-
1
3
)•(1-
1
32
)•…•(1-
1
3k
)
≥1-(
1
3
+
1
32
+…+
1
3k

則當(dāng)n=k+1時,(1-
1
3
)•(1-
1
32
)•…•(1-
1
3k
)•(1-
1
3k+1
)

[1-(
1
3
+
1
32
+…+
1
3k
)]•(1-
1
3k+1
)

=1-(
1
3
+
1
32
+…+
1
3k
)-
1
3k+1
+
1
3k+1
1
3
+
1
32
+…+
1
3k

≥1-(
1
3
+
1
32
+…+
1
3k
+
1
3k+1
),
即當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也成立.
故對一切n∈N*(1-
1
3
)•(1-
1
32
)•…•(1-
1
3n
)
≥1-(
1
3
+
1
32
+…+
1
3n
)成立.
所以(1-
1
3
)•(1-
1
32
)•…•(1-
1
3n
)
≥1-(
1
3
+
1
32
+…+
1
3n

=1-
1
3
〔1-(
1
3
)n
1-
1
3

=1-
1
2
[1-(
1
3
)n]=
1
2
+
1
2
(
1
3
)n
1
2

1-
1
3n
∈(0,1)
,
(1-
1
3
)•(1-
1
32
)•…•(1-
1
3n
)≤
2
3

a1a2a3an∈(
1
2
,
2
3
]
1
a1a2a3an
∈[
3
2
,2)
,
λ≥
1
a1a2a3an
在n∈N*時恒成立且λ∈N*,
所以λ的最小值為2.…(14分)
點(diǎn)評:本題考查等比數(shù)列的證明,考查數(shù)列的通項公式的求法,考查最小值的求法.解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
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}
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3
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