Question

如圖，已知單位圓上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線y=x對稱，且以x軸正半軸為始邊、以射線OP為終邊的角的大小為x．
（1）求點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；
（2）若另有兩點(diǎn)M（1，-1），N（-1，1），記f（x）=

MP

•

NQ

．
當(dāng)點(diǎn)P在上半圓上運(yùn)動（含與 x軸的交點(diǎn)）時(shí)，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（3）求函數(shù)f（x）最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由三角函數(shù)的定義可得點(diǎn)P，由對稱性可得Q的坐標(biāo)；（2）可得

MP

和

NQ

的坐標(biāo)，由數(shù)量積的運(yùn)算可得f（x）的表達(dá)式；（3）由三角函數(shù)的知識，結(jié)合換元法和二次函數(shù)區(qū)間的最值可求．

解答： 解：（1）由題意可得點(diǎn)P（cosx，sinx），
由對稱性可得Q的坐標(biāo)（sinx，cosx）；
（2）又∵M(jìn)（1，-1），N（-1，1），
∴

MP

=（cosx-1，sinx+1），

NQ

=（sinx+1，cosx-1），
∴f（x）=

MP

•

NQ

=2（cosx-1）（sinx+1），x∈[0，π]；
（3）由（2）知函數(shù)f（x）=2（cosx-1）（sinx+1），x∈[0，π]，
化簡可得f（x）=2sinxcosx+2（cosx-sinx）-2，
令cosx-sinx=t，則t=cosx-sinx=

2

cos（x+

π

4

）∈[-1，

2

2

]，
∴t²=1-2sinxcosx，代入上式可得y=1-t²+2t-2=-（t-1）²，
由二次函數(shù)的知識可知當(dāng)t=

2

2

時(shí)，上式取最大值

2 2 -3

2

∴函數(shù)f（x）最大值為：

2 2 -3

2

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及向量的數(shù)量積和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．