Question

已知等比數(shù)列{a_n}中各項均為正，有a₁=2，a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，等差數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上．
（1）求a₂和a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項a_n和b_n；
（3）設c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出a22 -a2a1-2a12=0，a32-a3a2-2a22=0，由此能求出a₂和a₃的值．
（2）由已知條件推導出數(shù)列{a_n}是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列，從而得到an=2n；數(shù)列{b_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，從而得到b_n=2n-1．
（3）由（1）得cn=(2n-1)•2n，由此利用錯位相減求和法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵an+12-an+1an-2an2=0，
∴a22 -a2a1-2a12=0，
又a₁=2，解得a₂=4，或a₂=-2（舍）…（2分）
a32-a3a2-2a22=0，
解得a₃=8，或a₃=-4（舍），…（4分）
（2）∵an+12-an+1an-2an2=0，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵{a_n}中各項均為正，∴

an+1

an

=2，
又a₁=2，∴數(shù)列{a_n}是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2n，…（6分）
∵點P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上，
∴b_n+1=b_n+2，
又b₁=1，∴數(shù)列{b_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
∴b_n=2n-1．…（8分）
（3）由（1）得cn=(2n-1)•2n
∴T_n=a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n
=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹…（10分）
∴-T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，…（12分）
即：-T_n=1×2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．