已知奇函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且當x>0時,f(x)<0.
(1)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性,并說明理由;
(2)若f(1)=-3,x0∈[-2,2],求證:-9≤f(x0+1)≤3.
解 (1)設x1,x2是任意的兩實數(shù),且x1<x2,則x2-x1>0. 由題意,有f(x2-x1)<0. ∵f(x)是奇函數(shù),f(x+y)=f(x)+f(y), ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0, ∴f(x2)<f(x1),∴f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù). (2)∵f(1)=-3, ∴f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-6,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-9. 又據(jù)f(x)是奇函數(shù),得f(-1)=3.由-2≤x0≤2,得-1≤x0+1≤3. 再據(jù)(1),得f(3)≤f(x0+1)≤f(-1),即-9≤f(x0+1)≤3. |
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
A.f(-5)>f(3) B.f(-5)<f(3)
C.f(-3)>f(-5) D.f(-3)<(-5)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),是否存在實數(shù)m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)對所有θ∈[0,]都成立?若存在,求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍,若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011年河北省保定市高二下學期第二次階段性考試數(shù)學 題型:選擇題
.已知奇函數(shù)f(x)對任意的正實數(shù)x1,x2(x1≠x2),恒有
(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,則一定正確的是 ( )
A.f(4)>f(-6) B.f(-4)<f(-6)
C.f(-4)>f(-6) D.f(4)<f(-6)
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011年河北省保定市一中高二下學期第二次階段性考試數(shù)學 題型:單選題
.已知奇函數(shù)f(x)對任意的正實數(shù)x1,x2(x1≠x2),恒有
(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,則一定正確的是 ( )
A.f(4)>f(-6) | B.f(-4)<f(-6) |
C.f(-4)>f(-6) | D.f(4)<f(-6) |
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