【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面為正三角形,側棱垂直底面,AB=4,AA1=6,若E,F(xiàn)分別是棱BB1 , CC1上的點,且BE=B1E,C1F= CC1 , 則異面直線A1E與AF所成角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解以C為原點,CA為x軸,在平面ABC中過作AC的垂線為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標系,
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面為正三角形,側棱垂直底面,AB=4,AA1=6,
E,F(xiàn)分別是棱BB1 , CC1上的點,且BE=B1E,C1F= CC1 ,
∴A1(4,0,6),E(2,2 ,3),F(xiàn)(0,0,4),A(4,0,0),
=(﹣2,2 ,﹣3), =(﹣4,0,4),
設異面直線A1E與AF所成角所成角為θ,
則cosθ= = = .
∴異面直線A1E與AF所成角的余弦值為 .
故選:D.
以C為原點,CA為x軸,在平面ABC中過作AC的垂線為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出異面直線A1E與AF所成角的余弦值.
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【題目】為了解某市民眾對某項公共政策的態(tài)度,在該市隨機抽取了名市民進行調查,做出了他們的月收入(單位:百元,范圍:)的頻率分布直方圖,同時得到他們月收入情況以及對該項政策贊成的人數統(tǒng)計表:
(1)求月收入在內的頻率,并補全這個頻率分布直方圖,并在圖中標出相應縱坐標;
(2)根據頻率分布直方圖估計這人的平均月收入;
(3)若從月收入(單位:百元)在的被調查者中隨機選取人,求人都不贊成的概率.
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【題目】如圖所示,有一塊矩形空地ABCD,AB=2km,BC=4km,根據周邊環(huán)境及地形實際,當地政府規(guī)劃在該空地內建一個箏形商業(yè)區(qū)AEFG,箏形的頂點A,E,F(xiàn),G為商業(yè)區(qū)的四個入口,其中入口F在邊BC上(不包含頂點),入口E,G分別在邊AB,AD上,且滿足點A,F(xiàn)恰好關于直線EG對稱,矩形內箏形外的區(qū)域均為綠化區(qū).
(1)請確定入口F的選址范圍;
(2)設商業(yè)區(qū)的面積為S1 , 綠化區(qū)的面積為S2 , 商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數為 ,則入口F如何選址可使得該商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數最大?
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【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓的左右頂點為,右焦點為,一條準線方程是,點為橢圓上異于的兩點,點為的中點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)直線交直線于點,記直線的斜率為,直線的斜率為,求證:為定值;
(3)若,求直線斜率的取值范圍。
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【題目】給出下列命題:
存在每個面都是直角三角形的四面體;
若三棱錐的三條側棱兩兩垂直,則其三個側面也兩兩垂直;
棱臺的側棱延長后交于一點;
用一個平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分是棱臺;
其中正確命題的個數是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】我國古代數學著作《九章算術》有如下問題:“今有人持金出五關,前關二而稅一,次關三而稅一,次關四而稅一,次關五而稅一,次關六而稅一,并五關所稅,適重一斤,問本持金幾何”其意思為“今有人持金出五關,第1關收稅金 ,第2關收稅金為剩余金的 ,第3關收稅金為剩余金的 ,第4關收稅金為剩余金的 ,第5關收稅金為剩余金的 ,5關所收稅金之和,恰好重1斤,問原來持金多少?”若將題中“5關所收稅金之和,恰好重1斤,問原來持金多少?”改成假設這個原來持金為x,按此規(guī)律通過第8關,則第8關需收稅金為x.
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【題目】已知點A(0,-2),橢圓E: (a>b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為,O為坐標原點.
(1)求E的方程;
(2)設過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點.當△OPQ的面積最大時,求l的方程.
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【題目】如圖,在幾何體A1B1D1﹣ABCD中,四邊形A1B1BA與A1D1DA均為直角梯形,且AA1⊥底面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=2A1D1=2A1B1=4,AA1=4,P為DD1的中點.
(Ⅰ)求證:AB1⊥PC;
(Ⅱ)求幾何體A1B1D1﹣ABCD的表面積.
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【題目】如圖,在幾何體ABCDEF中,四邊形ABCD是菱形,BE⊥平面ABCD,DF∥BE,且DF=2BE=2,EF=3.
(1)證明:平面ACF⊥平面BEFD
(2)若二面角A﹣EF﹣C是二面角,求直線AE與平面ABCD所成角的正切值.
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