【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最值;
(2)函數(shù)圖像在點處的切線斜率為有兩個零點,求證:.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),得導(dǎo)函數(shù)零點,根據(jù)a的正負討論導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律,確定單調(diào)性,進而確定最值取法,(2)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義確定a的值,再根據(jù)零點條件列等量關(guān)系: ,根據(jù)目標不等式構(gòu)造 ,最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 最值可證不等式
試題解析:(1),
當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,有最小值,無最大值;
當時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,有最大值,無最小值.
(2)依題知,即,所以,,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
因為是的兩個零點,必然一個小于,一個大于,不妨設(shè).
因為,
所以,
變形為.
欲證,只需證,
即證.
令,則只需證對任意的都成立.
令,則
所以在上單增,
即對任意的都成立.
所以.
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【題目】已知函數(shù)圖象上一點處的切線方程為.
()求,的值.
()若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實根,求實數(shù)的取值范圍.(為自然對數(shù)的底數(shù))
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【題目】某煤礦發(fā)生透水事故時,作業(yè)區(qū)有若干人員被困.救援隊從入口進入之后有L1,L2兩條巷道通往作業(yè)區(qū)(如下圖),L1巷道有A1,A2,A3三個易堵塞點,各點被堵塞的概率都是;L2巷道有B1,B2兩個易堵塞點,被堵塞的概率分別為,.
(1)求L1巷道中,三個易堵塞點最多有一個被堵塞的概率;
(2)若L2巷道中堵塞點個數(shù)為X,求X的分布列及均值E(X),并按照“平均堵塞點少的巷道是較好的搶險路線”的標準,請你幫助救援隊選擇一條搶險路線,并說明理由.
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【題目】已知點 ,橢圓 : ( )的離心率為 , 是橢圓 的右焦點,直線 的斜率為, 為坐標原點.
(1)求 的方程;
(2)設(shè)過點 的動直線 與 相交于 , 兩點,當 的面積最大時,求 的方程.
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【題目】已知f(x)=sin(x+ )+sin(x﹣ )+cosx+a(a∈R,a是常數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若a=0,作出y=f(x)在[﹣π,π]上的圖象;
(3)若x∈[﹣ , ]時,f(x)的最大值為1,求a的值.
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【題目】給出下列命題:
①如果,是兩條直線,且,那么平行于經(jīng)過的任何平面;
②如果直線和平面滿足,那么直線與平面內(nèi)的任何直線平行;
③如果直線,和平面滿足,,那么;
④如果直線,和平面滿足,,,那么;
⑤如果平面,,滿足,,那么.
其中正確命題的序號是__________.
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【題目】數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),a1=t,k∈N* , k≥1,p>0,an+an+1+an+2+…+an+k=6pn .
(1)當k=1,p=5時,若數(shù)列{an}成等比數(shù)列,求t的值;
(2)設(shè)數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列,求{an}的公比及t(用p、k的代數(shù)式表示);
(3)當k=1,t=1時,設(shè)Tn=a1+ + +…+ + ,參照教材上推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法,求證:{ Tn﹣ ﹣6n}是一個常數(shù).
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【題目】將函數(shù)y= cosx+sinx(x∈R)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于y軸對稱,則m的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
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