Question

【題目】定義在D上的函數(shù) ，若滿足： ，都有 成立，則稱 是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù) 的上界.
（I）設(shè) ，證明： 在 上是有界函數(shù)，并寫出 所有上界的值的集合；
（II）若函數(shù) 在 上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：因為 ，

所以 在 上是增函數(shù). 所以 . 即 ，

所以 ，所以 是有界函數(shù)．

所以，上界M滿足M≥1，所有上界M的集合為 ．.

（II）解：因為函數(shù) 在 上是以3為上界的有界函數(shù)，

所以 在 上恒成立.

所以 ， ，

令 ，則 ，所以 在 上恒成立，

所以， 在 上恒成立，

令 ，則 在 上是減函數(shù)，

所以 ；

令 ，則 在 上是增函數(shù)，

所以 ，.

所以，實數(shù)a的取值范圍 ．

【解析】(1)由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得證結(jié)論故 f ( x ) 所有上界的值得集合是 [ 1 , + ∞ )。(2)利用題意得到關(guān)于a的不等式求解不等式即得a的取值范圍。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．