Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=

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AD，PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面PBQ；
（Ⅱ）若點(diǎn)M在棱PC上，設(shè)PM=tMC，試確定t的值，使得PA∥平面BMQ．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 證明四邊形BCDQ為平行四邊形，可得CD∥BQ，證得QB⊥AD，由等腰三角形的性質(zhì)可得PQ⊥AD，從而
證得AD⊥平面PBQ．
 （Ⅱ） 當(dāng) t=1時(shí)，PA∥平面BMQ，可證四邊形BCQA為平行四邊形，故N為AC中點(diǎn)，由三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)
可得MN∥PA，故有PA∥平面BMQ．

解答：證明：（Ⅰ）AD∥BC，BC=

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AD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°，
∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．
（Ⅱ）當(dāng) t=1時(shí)，PA∥平面BMQ． 連接AC，交BQ于N，連接MN．
∵BC∥

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DQ，且BC=

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DQ，∴四邊形BCQA為平行四邊形，
且N為AC中點(diǎn)，∵點(diǎn)M是線(xiàn)段PC的中點(diǎn)，∴MN∥PA．
∵M(jìn)N?平面BMQ，PA不在平面BMQ內(nèi)，∴PA∥平面BMQ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直的方法，直線(xiàn)與平面垂直的判定、性質(zhì)的應(yīng)用．