【題目】已知正方體的棱長為，其內(nèi)有2個不同的小球，球與三棱錐的四個面都相切，球與三棱錐的三個面和球都相切，則球的體積等于______，球的表面積等于______．

【答案】

【解析】

由題意可知三棱錐是邊長為的正四面體,則球是三棱錐的內(nèi)切球,設(shè)其半徑為,由，可知,設(shè)平面平面,且球和球均與平面相切于點,則球是正四面體的內(nèi)切球,設(shè)其半徑為,則,最后代入數(shù)據(jù)計算即可.

因為正方體的棱長為,

所以三棱錐是邊長為的正四面體,的高為,

設(shè)底面的中心為,連接,則,,

則球是三棱錐的內(nèi)切球,設(shè)其半徑為,

則有

所以,

所以球的體積為,

又球與三棱錐的三個面和球都相切,

則設(shè)平面平面,且球和球均與平面相切于點,如下圖所示,

則球是三棱錐的內(nèi)切球,設(shè)其半徑為,

故,

因此在正四面體中,,

所以球的表面積為,

故答案為:;.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】新型冠狀病毒肺炎是一種急性感染性肺炎，其病原體是一種先前未在人類中發(fā)現(xiàn)的新型冠狀病毒，即2019新型冠狀病毒.2020年2月7日，國家衛(wèi)健委決定將“新型冠狀病毒感染的肺炎”暫命名為“新型冠狀病毒肺炎”，簡稱“新冠肺炎”.患者初始癥狀多為發(fā)熱、乏力和干咳，并逐漸出現(xiàn)呼吸困難等嚴重表現(xiàn).基于目前流行病學(xué)調(diào)查，潛伏期為1~14天，潛伏期具有傳染性，無癥狀感染者也可能成為傳染源.某市為了增強民眾防控病毒的意識，舉行了“預(yù)防新冠病毒知識競賽”網(wǎng)上答題，隨機抽取人，答題成績統(tǒng)計如圖所示.

（1）由直方圖可認為答題者的成績服從正態(tài)分布，其中分別為答題者的平均成績和成績的方差，那么這名答題者成績超過分的人數(shù)估計有多少人？（同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點值作代表）

（2）如果成績超過分的民眾我們認為是“防御知識合格者”，用這名答題者的成績來估計全市的民眾，現(xiàn)從全市中隨機抽取人，“防御知識合格者”的人數(shù)為，求.（精確到）

附：①，；②，則，；③，.

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（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

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49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 64

57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

A.B.C.D.

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（Ⅰ）當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；

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