Question

【題目】已知數(shù)列為等比數(shù)列，,公比為，且，為數(shù)列的前項(xiàng)和.

（1）若，求；

（2）若調(diào)換的順序后能構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，求的所有可能值；

（3）是否存在正常數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，不等式總成立？若存在，求出的范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）或；（3）.

【解析】

（1）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比，求和公式計(jì)算即可得到所求值；

（2）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程即可得到所求值；

（3）假設(shè)存在正常數(shù)c,q，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式總成立，由，即為，等價(jià)為，討論公比q，結(jié)合題意，推得存在，求得q的范圍.

（1）因?yàn)?/span>所以，所以或（舍去）．

所以

（2）若或成等差數(shù)列，則，解得或1（舍去）；若或成等差數(shù)列，

則，解得或1（舍去）；若成等差數(shù)列，

則，解得（舍去）.綜上，

（3）由，可得，故等價(jià)于恒成立.

因?yàn)?/span> 所以得到當(dāng)時(shí)，不可能成立.

當(dāng)時(shí)，另，得，解得

因?yàn)?/span>，所以即當(dāng)時(shí)，，所以不可能成立.

當(dāng)時(shí)，由，即，所以

即當(dāng)時(shí)，不成立.當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)恒成立，

綜上，存在正常數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)不等式總成立，的取值范圍為