Question

如圖,在棱長為1的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)F是棱CD上的動點(diǎn).

(1)試確定點(diǎn)F的位置,使得D₁E⊥平面AB₁F;

(2)當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時(shí),求二面角C₁—EF—A的大小.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

Answer 1

解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

(1)設(shè)DF=x,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A₁(0,0,1),B₁(1,0,1),D₁(0,1,1),E(1,,0),F(x,1,0).

所以=(1,-,-1),=(1,0,1),=(x,1,0).

所以·=1-1=0，即D₁E⊥AB₁.

于是D₁E⊥平面AB₁F?D₁E⊥AF·=0x-=0,即x=.

故當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D₁E⊥平面AB₁F.

（2）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時(shí)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn).

又E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF，則EF∥BD.

連結(jié)AC，設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H，則AH⊥EF.

連結(jié)C₁H，則CH是C₁H在底面ABCD內(nèi)的射影.

所以C₁H⊥EF,即∠AHC₁是二面角C₁—EF—A的平面角.

因?yàn)镃₁(1,1,1),H(,,0),

所以=(,,1),=(-,-,0).

所以cos∠AHC₁==,

即∠AHC₁=arccos(-)=π-arccos.

故二面角C₁—EF—A的大小為π-arccos.

點(diǎn)撥：用向量法求二面角的大小時(shí)，應(yīng)結(jié)合具體圖形來判斷求出的是二面角的平面角，還是它的補(bǔ)角.