Question

（2011•杭州一模）設函數f（x）=

sinx+cosx-|sinx-cosx|

2

（x∈R），若在區(qū)間[0，m]上方程f（x）=-

3

2

恰有4個解，則實數m的取值范圍是

[

5π

3

，

17π

6

)

．

Answer 1

分析：解：先畫出函數f（x）在一個周期上的圖象，再將方程f（x）=-

3

2

恰有4個解問題轉化為函數f（x）的圖象與y=-

3

2

恰有4個交點問題，數形結合即可求得m的范圍

解答：解：當sinx≥cosx時，即x∈[

π

4

+2kπ，

5π

4

+2kπ]時，f（x）=cosx
當sinx＜cosx時，即x∈[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]時，f（x）=sinx
∴函數f（x）為以2π為周期的周期函數，其在[0，2π）上的圖象如圖：
若在區(qū)間[0，m]上方程f（x）=-

3

2

恰有4個解，即在區(qū)間[0，m]上函數f（x）的圖象與y=-

3

2

恰有4個交點
∵f（

5π

6

）=-

3

2

，f（

5π

3

）=-

3

2

，f（

5π

6

+2π）=f（

17π

6

）=-

3

2

∴由圖數形結合可知，當m∈[

5π

3

，

17π

6

)時，兩函數圖象恰有4個交點
故答案為 [

5π

3

，

17π

6

)

點評：本題主要考查了三角分段函數的圖象及其畫法，方程的根與函數圖象交點間的關系，數形結合求參數的范圍及轉化化歸的思想方法