(理)定義:若存在常數(shù)k,使得對定義域D內(nèi)的任意兩個不同的實(shí)數(shù)x1,x2,均有:|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,則稱f(x)在D上滿足利普希茨(Lipschitz)條件.
(1)試舉出一個滿足利普希茨(Lipschitz)條件的函數(shù)及常數(shù)k的值,并加以驗(yàn)證;
(2)若函數(shù)f(x)=
x+1
在[1,+∞)
上滿足利普希茨(Lipschitz)條件,求常數(shù)k的最小值;
(3)現(xiàn)有函數(shù)f(x)=sinx,請找出所有的一次函數(shù)g(x),使得下列條件同時成立:
①函數(shù)g(x)滿足利普希茨(Lipschitz)條件;
②方程g(x)=0的根t也是方程f(
4
)=
2
sin(
2
-
π
4
)=-
2
cos
π
4
=-1

③方程f(g(x))=g(f(x))在區(qū)間[0,2π)上有且僅有一解.
分析:(1)任意舉出一個一次函數(shù)都滿足題意;
(2)直接把f()x=
x+1
代入|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|
,求出最大值后得滿足|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|的k的最小值;
(3)由(1)可知所有一次函數(shù)滿足①,設(shè)出一次函數(shù)后由f(g(x))=g(f(x))求出具體函數(shù)解析式,構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)=f(g(x))-g(f(x))=sinkx-ksinx,然后對k大于0分類分析跟的情況,經(jīng)分析可知k>
1
2
時方程h(x)=0根不唯一,證明k∈(0,
1
2
]
時符合題意.由此得到滿足三個條件的所有一次函數(shù).
解答:解:(1)函數(shù)f(x)=x,由|x1-x2|≤2|x1-x2|知,k=2滿足題意;
(2)∵f(x)=
x+1
在[1,+∞)
上為增函數(shù),
∴對任意x1,x2∈[1,+∞)都有
|f(x1)-f(x2)|
|x1-x2|
=|
x1+1
-
x2+1
(x1+1)-(x2+1)
|=
1
x1+1
+
x2+1
1
2
2
=
2
4

kmin=
2
4

(3)由于所有一次函數(shù)均滿足(1),故設(shè)g(x)=kx+b(k≠0),
∵t是g(x)=0的根,∴g(t)=0,則t=-
b
k
,又f(f(t))=g(f(t)),
∴f(0)=g(0),∴b=0,∴g(x)=kx.
若k符合題意,則-k也符合題意,故以下僅考慮k>0的情形.
設(shè)h(x)=f(g(x))-g(f(x))=sinkx-ksinx.
①若k≥1,則有h(
π
k
)=sinπ-ksin
π
k
<0
,
h(
2
)=sin
3kπ
2
-ksin
2
=sin
3kπ
2
+k≥0

∴在[
π
k
,
2
]
中另有一根,矛盾;
②若
1
2
<k<1
,h(
π
k
)=sinπ-ksin
π
k
≥0

h(2π)=sin2kπ-ksin2π≥0.
∴在[
π
k
,2π]
中另有一根,矛盾;
∴0<k
1
2

以下證明對任意的k∈(0,
1
2
]
g(x)=kx符合題意.
當(dāng)x∈(0,
π
2
]時,由y=sinx的圖象在連結(jié)兩點(diǎn)(0,0),(x,sinx)的線段的上方,
知sinkx>ksinx,∴h(x)>0.
當(dāng)x∈(
π
2
π
2k
]
時,sinkx>sin
2
≥ksin
π
2
≥ksinx

∴h(x)>0.
當(dāng)x∈(
2
,2π)
時,sinkx>0,sinx<0,∴h(x)>0.
綜上,h(x)=0有且僅有一個解x=0,∴g(x)=kx在k∈(0,
1
2
]滿足題意.
綜上,g(x)=kx,k∈[-
1
2
,0)∪(0,
1
2
]
點(diǎn)評:此題是個難題,考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性,并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想,在轉(zhuǎn)化過程中一定注意函數(shù)的定義域.解決抽象函數(shù)的問題一般應(yīng)用賦值法.特別是問題(3)對滿足條件的函數(shù)限制,增加了題目的難度,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊系列答案
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定義:若存在常數(shù)k,使得對定義域D內(nèi)的任意兩個不同的實(shí)數(shù)x1,x2,,均有:|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,則稱f(x)在D上滿足利普希茨(Lipschitz)條件.對于函數(shù)f(x)=sinx滿足利普希茨條件,則常數(shù)k的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:若存在常數(shù)k,使得對定義域D內(nèi)的任意兩個x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,則稱函數(shù)f(x)在定義域D上滿足利普希茨條件.若函數(shù)f(x)=
x
(x≥1)
滿足利普希茨條件,則常數(shù)k的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:若存在常數(shù)k,使得對定義域D內(nèi)的任意兩個不同的實(shí)數(shù)x1,x2,均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x12-x22|成立,則稱函數(shù)f(x)在定義域D上滿足類利普希茨條件.對于函數(shù)f(x)=
x
(x≥1)
滿足利普希茨條件,則常數(shù)k的最小值應(yīng)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(09年萊陽一中期末理)定義:若存在常數(shù),使得對定義域D內(nèi)的任意兩個不同的實(shí)數(shù),均有

成立,則稱函數(shù)在定義域D上滿足利普希茨條件.對于函數(shù)滿足利普希茨條件、則常數(shù)k的最小值應(yīng)是

     A.2    B.1    C.    D.

 

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