Question

已知，f（x）=x³-ax-1．
（1）若f（x）在實數(shù)集上單調遞增，求a的取值范圍．
（2）是否存在實數(shù)a，使f（x）在（-1，1）上單調遞減，若存在，求a的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求f′（x）=3x²-a，根據已知條件便知f′（x）≥0在x∈R上恒成立，也就得到3x²≥a恒成立．這時候能夠求得3x²的最小值為0，從而便有a≤0，從而便求得了a的取值范圍；
（2）方法同（1）類似，容易得到3x²≤a在x∈（-1，1）上恒成立，這時可求得3x²∈[0，3），從而便可得到a應滿足a≥3，從而得出存在滿足條件的實數(shù)a，并得出了a的范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-a；
若f（x）在實數(shù)集上單調遞增，則：3x²-a≥0對任意的x∈R恒成立；
∴3x²≥a恒成立；又3x²的最小值為0；
∴0≥a，即a≤0；
∴a的取值范圍為（-∞，0]；
（2）根據已知條件，3x²-a≤0在x∈（-1，1）上恒成立；
∴3x²≤a在x∈（-1，1）上恒成立；
x∈（-1，1）時，3x²∈[0，3）；
∴a≥3；
∴符合條件的a存在，范圍為[3，+∞）．

點評：考查函數(shù)單調性和函數(shù)導數(shù)符號的關系，以及二次函數(shù)ax²的最值及其范圍的求解．