Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項均為正實數(shù)，b_n=log₂a_n，若數(shù)列{b_n}滿足b₂=0，b_n+1=b_n+log₂p，其中p為正常數(shù)，且p≠1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₁₆恒成立？若存在，求出使結(jié)論成立的p的取值范圍和相應(yīng)的M的最小值；若不存在，請說明理由；
（3）若p=2，設(shè)數(shù)列{c_n}對任意的n∈N^*，都有c₁b_n+c₂b_n-1+c₃b_n-2+…+c_nb₁=-2n成立，問數(shù)列{c_n}是不是等比數(shù)列？若是，請求出其通項公式；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由b_n+1=b_n+log₂p，得b_n+1-b_n=log₂p，從而可判斷{b_n}是以log₂p為公差的等差數(shù)列，可求得b_n，再根據(jù)b_n=log₂a_n可求得a_n；
（2）根據(jù)an=pn-2及冪的運算法則可化簡不等式a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₁₆，得p

n(3n-5)

2

＞p¹⁴（*），然后按照0＜p＜1及p＞1兩種情況討論可解得不等式（*），從而可得結(jié)果；
（3）p=2時由（1）得b_n=n-2，從而得c₁（n-2）+c₂（n-3）+c₃（n-4）+…+c_n（-1）=-2n①，則c₁（n-1）+c₂（n-2）+c₃（n-3）+…+c_n+1（-1）=-2（n+1）②，由②-①，得c₁+c₂+c₃+…+c_n-c_n+1=-2③，
進而可得c₁+c₂+…+c_n+c_n+1-c_n+2=-2④，然后用④-③得2c_n+1=c_n+2，由此可判斷{c_n}一定是等比數(shù)列，進而可求得答案；

解答：解：（1）∵b_n+1=b_n+log₂p，∴b_n+1-b_n=log₂p，
∴{b_n}是以log₂p為公差的等差數(shù)列，
又b₂=0，∴b_n=b₂+（n-2）log₂p=log2pn-2，
故由b_n=log₂a_n，得an=2bn=2log2pn-2=p^n-2；
（2）∵an=pn-2，∴a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2=p^-1•p²•p⁵…p^3n-4
=p^{-1+2+5+…+（3n-4）}=p

n(3n-5)

2

，
又a16=p14，∴p

n(3n-5)

2

＞p¹⁴，
（i）當(dāng)0＜p＜1時，

n(3n-5)

2

＜14，解得-

7

3

＜n＜4，不符合題意；
（ii）當(dāng)p＞1時，

n(3n-5)

2

＞14，解得n＞4或n＜-

7

3

，
綜上所述，當(dāng)p＞1時，存在正整數(shù)M使得a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₁₆恒成立，且M的最小值為4；
（3）∵p=2，由（1）得b_n=n-2，
∴c₁（n-2）+c₂（n-3）+c₃（n-4）+…+c_n（-1）=-2n①，
則c₁（n-1）+c₂（n-2）+c₃（n-3）+…+c_n+1（-1）=-2（n+1）②，
由②-①，得c₁+c₂+c₃+…+c_n-c_n+1=-2③，
∴c₁+c₂+…+c_n+c_n+1-c_n+2=-2④，
再由④-③，得2c_n+1=c_n+2，即

cn+2

cn+1

=2(n∈N*)，
∴數(shù)列{c_n}一定是等比數(shù)列，且公比為2，c₁=2，∴cn=2n．

點評：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、數(shù)列的函數(shù)特性及等比關(guān)系的確定，分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，綜合性較強，難度較大．