(2013•江蘇一模)設(shè)數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),其前n項的和為Sn,對于任意正整數(shù)m,n,Sm+n=
2a2m(1+S2n)
-1
恒成立.
(1)若a1=1,求a2,a3,a4及數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若a4=a2(a1+a2+1),求證:數(shù)列{an}成等比數(shù)列.
分析:(1)由給出的遞推式分別取m=1,m=2得到兩個關(guān)系式,兩式作比后可以證明數(shù)列{1+Sn}是一個等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項公式得到Sn的表達(dá)式,模仿該式再寫一個關(guān)系式,兩式作差后進(jìn)一步得到一個關(guān)于a2和S2的關(guān)系式,然后把a(bǔ)1代入即可求得a2的值,在分別取m=1,n=2;m=2,n=1代入原遞推式,得到關(guān)于a3,a4的方程后可求解a3,a4則數(shù)列{an}的通項公式可求;
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,取m=n=2得關(guān)系式,結(jié)合m=1,n=2得到的關(guān)系式可求出q=
a4
a2
=2.最后結(jié)合題目給出的條件,a4=a2(a1+a2+1)證出數(shù)列{an}成等比數(shù)列.
解答:解(1)由Sm+n=
2a2m(1+S2n)
-1
1+Sm+n=
2a2m(1+S2n)

令m=1,得1+Sn+1=
2a2(1+S2n)

令m=2,得1+Sn+2=
2a4(1+S2n)

②÷①得:
1+Sn+2
1+Sn+1
=
a4
a2
 (n∈N*).記
a4
a2
=q
,
則數(shù)列{1+Sn} (n≥2,n∈N*)是公比為q的等比數(shù)列.
1+Sn=(1+S2)qn-2 (n≥2,n∈N*)③.
n≥3時,1+Sn-1=(1+S2)qn-3④.
③-④得,an=(1+S2)qn-3(q-1) (n≥3,n∈N*).
1+Sm+n=
2a2m(1+S2n)
中,令m=n=1,得1+S2=
2a2(1+S2)

(1+S2)2=2a2(1+S2)
則1+S2=2a2,∴a2=1+a1
∵a1=1,∴a2=2.
1+Sm+n=
2a2m(1+S2n)
中,令m=1,n=2,得1+S3=
2a2(1+S4)

(4+a3)2=4(4+a3+a4)
1+Sm+n=
2a2m(1+S2n)
中,令m=2,n=1,得1+S3=
2a4(1+S2)

(4+a3)2=8a4⑥.
由⑤,⑥,解得a3=4,a4=8.
則q=2,由an=(1+S2)qn-3(q-1) (n≥3,n∈N*),
得:an=4×2n-3(2-1)=2n-1
∵a1=1,a2=2也適合上式,∴an=2n-1
(2)在1+Sm+n=
2a2m(1+S2n)
中,令m=2,n=2,得1+S4=
2a4(1+S4)

則1+S4=2a4,∴1+S3=a4
1+Sm+n=
2a2m(1+S2n)
中,令m=1,n=2,得1+S3=
2a2(1+S4)

1+S3=
2a2(1+S3+a4)
,∴a4=
2a2×2a4

則a4=4a2,∴q=
a4
a2
=2

代入an=(1+S2)qn-3(q-1) (n≥3,n∈N*),
an=(1+S2)2n-3 (n≥3,n∈N*).
由條件a4=a2(a1+a2+1),得a1+a2+1=4.
∵a2=a1+1,a1=1,∴a2=2.
an=4×2n-3=2n-1
∵a1=1,a2=2上式也成立,
an=2n-1 (n∈N*).
故數(shù)列{an}成等比數(shù)列.
點(diǎn)評:本題考查了等比關(guān)系的確定,考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合,訓(xùn)練了學(xué)生的靈活變形能力和對繁雜問題的計算能力,屬中高檔題.
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Tn
=
2n+1
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+
a11
b6+b15
=
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