Question

已知函數(shù)（k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線與x軸平行．

(1)求k的值及的單調(diào)區(qū)間;

(2)設(shè)其中為的導(dǎo)函數(shù),證明:對任意,.

 

Answer 1

（1）,的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是;（2）祥見解析.

【解析】

試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在點（1，）處的切線與x軸平行，說明，則k值可求；再求的單調(diào)區(qū)間,首先應(yīng)求出函數(shù)的定義域，然后讓導(dǎo)函數(shù)等于0求出極值點，借助于導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2），分別研究，的單調(diào)性，可得函數(shù)的范圍，即可證明結(jié)論.

試題解析：（1）由，得.

因為曲線在處的切線與軸平行，

所以，因此.

所以，

當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，.

所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）證明：因為，所以.

因此，對任意，等價于.

令，則.

因此，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.

所以的最大值為，故.

設(shè).因為，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，故當(dāng)時，，即.

所以.因此對任意，.

考點：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義;2.函數(shù)的單調(diào)性;3函數(shù)的最值.