【題目】設(shè)a∈Z,已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個零點x0 , g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)m∈[1,x0)∪(x0 , 2],函數(shù)h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求證:h(m)h(x0)<0;
(Ⅲ)求證:存在大于0的常數(shù)A,使得對于任意的正整數(shù)p,q,且 ∈[1,x0)∪(x0 , 2],滿足| ﹣x0|≥

【答案】(Ⅰ)解:由f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a,可得g(x)=f′(x)=8x3+9x2﹣6x﹣6,
進而可得g′(x)=24x2+18x﹣6.令g′(x)=0,解得x=﹣1,或x=
當(dāng)x變化時,g′(x),g(x)的變化情況如下表:

x

(﹣∞,﹣1)

(﹣1,

,+∞)

g′(x)

+

+

g(x)

所以,g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(﹣∞,﹣1),( ,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(﹣1, ).
(Ⅱ)證明:由h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),得h(m)=g(m)(m﹣x0)﹣f(m),
h(x0)=g(x0)(m﹣x0)﹣f(m).
令函數(shù)H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),則H′1(x)=g′(x)(x﹣x0).
由(Ⅰ)知,當(dāng)x∈[1,2]時,g′(x)>0,
故當(dāng)x∈[1,x0)時,H′1(x)<0,H1(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(x0 , 2]時,H′1(x)>0,H1(x)單調(diào)遞增.
因此,當(dāng)x∈[1,x0)∪(x0 , 2]時,H1(x)>H1(x0)=﹣f(x0)=0,可得H1(m)>0即h(m)>0,
令函數(shù)H2(x)=g(x0)(x﹣x0)﹣f(x),則H′2(x)=g′(x0)﹣g(x).由(Ⅰ)知,g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,故當(dāng)x∈[1,x0)時,H′2(x)>0,H2(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x0 , 2]時,H′2(x)<0,H2(x)單調(diào)遞減.因此,當(dāng)x∈[1,x0)∪(x0 , 2]時,H2(x)>H2(x0)=0,可得得H2(m)<0即h(x0)<0,.
所以,h(m)h(x0)<0.
(Ⅲ)對于任意的正整數(shù)p,q,且
令m= ,函數(shù)h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).
由(Ⅱ)知,當(dāng)m∈[1,x0)時,h(x)在區(qū)間(m,x0)內(nèi)有零點;
當(dāng)m∈(x0 , 2]時,h(x)在區(qū)間(x0 , m)內(nèi)有零點.
所以h(x)在(1,2)內(nèi)至少有一個零點,不妨設(shè)為x1 , 則h(x1)=g(x1)( ﹣x0)﹣f( )=0.
由(Ⅰ)知g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,故0<g(1)<g(x1)<g(2),
于是| ﹣x0|= =
因為當(dāng)x∈[1,2]時,g(x)>0,故f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,
所以f(x)在區(qū)間[1,2]上除x0外沒有其他的零點,而 ≠x0 , 故f( )≠0.
又因為p,q,a均為整數(shù),所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整數(shù),
從而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.
所以| ﹣x0|≥ .所以,只要取A=g(2),就有| ﹣x0|≥
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)g(x)=f′(x)=8x3+9x2﹣6x﹣6,求出極值點,通過列表判斷函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間即可.
(Ⅱ)由h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),推出h(m)=g(m)(m﹣x0)﹣f(m),
令函數(shù)H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),求出導(dǎo)函數(shù)H′1(x)利用(Ⅰ)知,推出h(m)h(x0)<0.
(Ⅲ)對于任意的正整數(shù)p,q,且 ,令m= ,函數(shù)h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).
由(Ⅱ)知,當(dāng)m∈[1,x0)時,當(dāng)m∈(x0 , 2]時,通過h(x)的零點.轉(zhuǎn)化推出| ﹣x0|= = .推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.然后推出結(jié)果.
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

練習(xí)冊系列答案
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支持

保留

不支持

歲以下

歲以上(含歲)

(1)在所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取個人,已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了人,求的值;

(2)在接受調(diào)查的人中,有人給這項活動打出的分?jǐn)?shù)如下:,,,,,,,,把這個人打出的分?jǐn)?shù)看作一個總體,從中任取一個數(shù),求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過的概率.

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B.
C.
D.

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銷售單價(元)

30

40

45

50

日銷售量(件)

60

30

15

0

(1)在平面直角坐標(biāo)系中,根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對對應(yīng)的點,并確定的一個函數(shù)關(guān)系式;

(2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為元,根據(jù)上述關(guān)系式寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,

并指出銷售單價為多少時,才能獲得最大日銷售利潤。

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