Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F是PC中點，G為AC上一動點．
（1）求證：BD⊥FG；
（2）確定點G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并說明理由．
（3）如果PA=AB=2，求三棱錐B-CDF的體積．

Answer 1

分析：（1）由已知條件，利用直線垂直于平面的判定定理，先推導出BD⊥平面APC，由此能夠證明BD⊥FG．
（2）當G為EC中點時，FG∥平面PBD．根據題設條件，利用直線與平面平行的判定定理進行證明．
（3）三棱錐B-CDF的體積等于三棱錐F-BCD的體積，利用等積法能求出結果．

解答：（1）證明：∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，
其對角線BD、AC交于點E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD．…（2分）
∴BD⊥平面APC，…（3分）
∵FG?平面PAC，
∴BD⊥FG…（4分）
（2）解：當G為EC中點，即AG=

3

4

AC時，FG∥平面PBD．…（5分）
理由如下：
連結PE，由F為PC中點，G為EC中點，知FG∥PE…（6分）
而FG?平面PBD，PB?平面PBD，
故FG∥平面PBD．…（8分）
（3）解：連結FE，FD，
∵F是PC中點，E是正方形ABCD對角線的交點，
∴FE∥PA，且FE=

1

2

PA=1，
∵PD⊥面ABCD，∴FE⊥面BCD，
∵S_△BCD=

1

2

×2×2=2，
∴三棱錐B-CDF的體積V=V_F-BCD=

1

3

×1×2=

2

3

．…（12分）

點評：本題考查直線與直線垂直的證明，考查空間點位置的確定，考查三棱錐體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意等積法的合理運用．