【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M10)的直線l與拋物線Cy22pxp0)交于A,B兩點(diǎn),且.

1)求拋物線C的方程;

2)過(guò)點(diǎn)M作直線l'l交拋物線C于兩點(diǎn),記△OAB,△OPQ的面積分別為S1,S2,證明:為定值.

【答案】1;(2)見(jiàn)解析

【解析】

1)設(shè)直線的方程為,與拋物線的方程聯(lián)立消去得關(guān)于的方程,利用根于系數(shù)的關(guān)系表示,從而求得的值;

2)由題意求出弦長(zhǎng)以及原點(diǎn)到直線的距離,計(jì)算△OAB的面積,同理求出△OPQ的面積,再求的值.

1)解:設(shè)直線l的方程為:xmy+1,

與拋物線Cy22pxp0)聯(lián)立,消去x得:

y22pmy2p0;

設(shè)Ax1,y1),Bx2y2),

y1+y22pm,y1y22p;

,得

x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1+y1y2

=(1+m2y1y2+y1+y2m+1

=(1+m2(﹣2p+2pm2+1

=﹣2p+1=﹣3

解得p2,

∴拋物線C的方程為y24x;

2)證明:由(1)知,點(diǎn)M1,0)是拋物線C的焦點(diǎn),

所以|AB|x1+x2+pmy1+my2+2+p4m2+4,

又原點(diǎn)到直線l的距離為d

所以△OAB的面積為S14m2+1)=2

又直線l過(guò)點(diǎn)M,且l'l,

所以△OPQ的面積為S222;

所以,

為定值.

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