已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
，
（1）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）若a=1，求證函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）若函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．
（1）函數(shù)的定義域是x∈R，且x≠0，又f（-x）=（-x）+
a
-x
=-（x+
a
x
）=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，任取x1，x2∈[1，+∞），且1≤x1＜x2，則f（x2）-f（x1）=（x2+
1
x2
）-（x1+
1
x1
）=（x2-x1）+
x1-x2
x1x2
=
(x2-x1)(x1x2-1)
x1x2
；
∵x2-x1＞0，x1x2＞1，∴x1x2-1＞0，∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，設(shè)1≤x1＜x2，則x2-x1＞0，x1x2＞1，
所以f（x2）-f（x1）=（x2+
a
x2
）-（x1+
a
x1
）=（x2-x1）+
a(x1-x2)
x1x2
=
(x2-x1)(x1x2-a)
x1x2
＞0，
∴x1x2-a＞0，
∴a＜x1x2，故a≤1，所以a的取值范圍是：[1，+∞）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，x∈[0，2）時(shí)，f（x）=x2，若對(duì)于任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），則f（2）-f（3）的值為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）的圖象如右，則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知定義在（-1，1）上的偶函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，則滿(mǎn)足f（2x-1）＜f（x）的x的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=
x-2
x+3
的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f（x）為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

奇函數(shù)y=f（x）定義在[-1，1]上，且是減函數(shù)，若f（1-a）+f（1-2a）＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

下列判斷正確的是（　　）
A．定義在R上的函數(shù)f（x），若f（-1）=f（1），且f（-2）=f（2），則f（x）是偶函數(shù)
B．定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（2）＞f（1），則f（x）在R上不是減函數(shù)
C．定義在R上的函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上也是減函數(shù)，則f（x）在R上是減函數(shù)
D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有且只有一個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

f（x）定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0]上遞增，且有f（2a2+a+1）＜f（3a2-2a+1），求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
-2x+a
2x+1
是奇函數(shù)，
（1）求a值，并判斷f（x）的單調(diào)性（不需證明）；
（2）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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