【題目】已知對任意的n∈N* , 存在a,b∈R,使得1×(n2﹣12)+2×(n2﹣22)+3×(n2﹣32)+…+n(n2﹣n2)= (an2+b)
(1)求a,b的值;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明上述恒等式.
【答案】
(1)解:由題意1×(n2﹣12)+2×(n2﹣22)+3×(n2﹣32)+…+n(n2﹣n2)= (an2+b),
上述等式分別取n=1,2得 ,解得 ,
(2)解:由(1)得1×(n2﹣12)+2×(n2﹣22)+3×(n2﹣32)+…+n(n2﹣n2)= (n2﹣1),
證明:①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1×(12﹣12)=0,右邊= ×12(12﹣1)=0,等式成立,
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即1×(k2﹣12)+2×(k2﹣22)+3×(k2﹣32)+…+k(k2﹣k2)= k2(k2﹣1),
則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1×[(k2﹣12)+(2k+1)]+2×[(k2﹣22)+(2k+1)]+…+k[(k2﹣k2)+(2k+1)],
=1×(k2﹣12)+2×(k2﹣22)+3×(k2﹣32)+…+k(k2﹣k2)+(2k+1)(1+2+3+…+k),
= k2(k2﹣1)+(2k+1) k(k+1),
= k(k+1)(k2+3k+2),
= (k+1)2k(k+2),
= (k+1)2[(k+1)2﹣1],
所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立,
綜上所述,對任意n∈N*,原等式成立.
【解析】(1)分別取n=1,2,得到關(guān)于a,b的方程組解得即可,(2)先根據(jù)當(dāng)n=1時(shí),把n=1代入求值等式成立;再假設(shè)n=k時(shí)關(guān)系成立,利用變形可得n=k+1時(shí)關(guān)系也成立,綜合得到對于任意n∈N*時(shí)都成立
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)學(xué)歸納法的定義對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線: ,以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,已知直線: .
(1)將曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的、2倍后得到曲線,求的參數(shù)方程;
(2)在曲線上求一點(diǎn),使點(diǎn)到直線的距離最大,并求出此最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若直線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,且,求整數(shù)所有可能的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)= 給出下列結(jié)論:
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,8];
②對任意的n∈N,都有f(2n)=23﹣n;
③存在k∈( , ),使得直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象有5個(gè)公共點(diǎn);
④“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在n∈N,使得(a,b)(2n , 2n+1)”
其中正確命題的序號是( )
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,若f(﹣4)=f(0),f(﹣2)=﹣1.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象,并指出函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為, ,過點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn), 的面積為,橢圓的離心力為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),直線: 與軸交于點(diǎn),與橢圓交于, 兩個(gè)不同的點(diǎn),若存在實(shí)數(shù),使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={0,1,2},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},則B=( )
A.{0,1,2,3,4}
B.{0,1,2}
C.{0,2,4}
D.{1,2}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},給出如下四個(gè)圖形,其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是( )
A.
B.
C.
D.
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