若向量
a
=(3sin(ωx+φ),
3
sin(ωx+φ)),
b
=(sin(ωx+φ),cos(ωx+φ))
,其中ω>0,0<φ<
π
2
,設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b
-
3
2
,其周期為π,且x=
π
12
是它的一條對稱軸.
(1)求f(x)的最小正周期
(2)當(dāng)x∈[0,
π
4
]
時,不等式f(x)+a>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)利用向量的數(shù)量積化簡函數(shù)的表達(dá)式,通過二倍角公式、兩角和與差的三角函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式,然后求f(x)的最小正周期.
(2)當(dāng)x∈[0,
π
4
]
時,不等式f(x)+a>0恒成立,轉(zhuǎn)化為求出函數(shù)f(x)的最大值,即可求實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)f(x)=
a
b
-
3
2
.(2分)
=(3sin(ωx+φ),
3
sin(ωx+φ))•(sin(ωx+φ),cos(ωx+φ))-
3
2
=3sin2(ωx+φ)+
3
sin(ωx+φ)•cos(ωx+φ)-
3
2
=
3
[
1
2
sin2(ωx+φ)-
3
2
cos2(ωx+φ)]

=
3
sin(2ωx+2φ-
π
3
)
.(4分)
(1)∵周期為π∴ω=1.(5分)
又∵x=
π
12
為其一條對稱軸∴2•
π
12
+2φ-
π
3
=
π
2
+kπ(k∈Z)

0<φ<
π
2
φ=
π
3
.(7分)
f(x)=
3
sin(2x+
π
3
)
.(8分)
(2)∵x∈[0,
π
4
]
π
3
≤(2x+
π
3
)≤
5
6
π
.(9分)
f(x)=
3
sin(2x+
π
3
)
的最小值為
3
2
.(11分)
由f(x)+a>0恒成立,得a>-
3
2

所以a的取值范圍為(-
3
2
,+∞)
.(12分)
點評:本題是中檔題,考查向量的數(shù)量積,三角函數(shù)的化簡求值,周期的求法,恒成立問題的應(yīng)用,考查計算能力,轉(zhuǎn)化思想.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(2cosα,2sinα),
b
=(3cosβ,3sinβ),若向量
a
b
的夾角為60°,則直線xcosα-ysinα+
1
2
=0
與圓(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=
1
2
的位置關(guān)系是( 。
A、相交B、相切
C、相離D、相交且過圓心

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(2cosα,2sinα),
b
=(3cosβ,3sinβ)
,若向量
a
b
的夾角為60°,求cos(α-β)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列命題:
①函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于點(kπ,0)(k∈Z)對稱;
②若向量a、b、c滿足a•b=a•c且a≠0,則b=c;
③把函數(shù)y=3sin(2x+
π
3
)
的圖象向右平移
π
6
得到y(tǒng)=3sin2x的圖象;
④若數(shù)列{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則an=an+1(n∈N*).
其中正確命題的序號為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)平面向量
a
=(
3
sin(π+x),2cosx)
b
=(-2cosx,cosx),已知函數(shù)f(x)=
a
b
+m在[0,
π
2
]
上的最大值為6.
(Ⅰ)求實數(shù)m的值;
(Ⅱ)若f(x0)=
26
5
,x0∈[
π
4
π
2
]
.求cos2x0的值.

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