設平面向量
a
=(
3
sin(π+x)，2cosx)，
b
=（-2cosx，cosx），已知函數(shù)f（x）=
a
•
b
+m在[0，
π
2
]上的最大值為6．
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）若f(x0)=
26
5
，x0∈[
π
4
，
π
2
]．求cos2x0的值．
分析：（Ⅰ）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式、三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）=
a
•
b
+m的解析式為2sin(2x+
π
6
)+1+m，結合x的范圍，根據(jù)f（x）的最大值為6，求得m的值．
（Ⅱ）根據(jù)f（x）的解析式，利用條件求得cos(2x0+
π
6
)=-
4
5
，再根據(jù)cos2x0=cos[(2x0+
π
6
)-
π
6
]，利用兩角差的余弦公式求得結果．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得函數(shù)f（x）=
a
•
b
+m=
3
sin(π+x)•(-2cosx)+2cos2x+m
=
3
sin2x+cos2x+1+m=2sin(2x+
π
6
)+1+m．
∵x∈[0，
π
2
]，2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，
∴2sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
，1]，∴f（x）max=2+1+m=6，
∴m=3．
（Ⅱ）因為f(x)=2sin(2x+
π
6
)+4，
由f(x0)=
26
5
得：2sin(2x0+
π
6
)+4=
26
5
，則sin(2x0+
π
6
)=
3
5
．
因為x0∈[
π
4
，
π
2
]，則2x0+
π
6
∈[
2π
3
，
7π
6
]，
因此cos(2x0+
π
6
)＜0，所以cos(2x0+
π
6
)=-
4
5
，
于是cos2x0=cos[(2x0+
π
6
)-
π
6
]=cos(2x0+
π
6
)cos
π
6
+sin(2x0+
π
6
)sin
π
6
=-
4
5
×
3
2
+
3
5
×
1
2
=
3-4
3
10
．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設平面向量
a
=(3，5)，
b
=(-2，1)
（1）求|
a
-2
b
|的值；
（2）若
c
=
a
-(
a
•
b
)
b
，求向量
c
與
b
的夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設平面向量
a
=（1，2），
b
=（-2，y），若
a
∥
b
，則|3
a
+
b
|等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設平面向量 
a
=（-2，6），
b
=(3，y)，若
a
∥
b
，則
a
-2
b
=（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設平面向量
a
=（-2，1），
b
=（1，λ），若
a
與
b
的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是
(-∞，-
1
2
)∪(-
1
2
，2)
(-∞，-
1
2
)∪(-
1
2
，2)
．

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