Question

已知函數(shù)f（x）=x（lnx+mx）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f（x）=xlnx+mx²（x＞0），f′（x）=lnx+1+2mx．令g（x）=lnx+1+2mx，由于函數(shù)f（x）=x（lnx+mx）有兩個(gè)極值點(diǎn)?g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．g′（x）=

1

x

+2m．當(dāng)m≥0時(shí)，直接驗(yàn)證；當(dāng)m＜0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性可得：當(dāng)x=-

1

2m

時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值，故要使g（x）有兩個(gè)不同解，只需要g（-

1

2m

）＞0，解得即可．

解答： 解：f（x）=xlnx+mx²（x＞0），f′（x）=lnx+1+2mx．
令g（x）=lnx+1+2mx，
∵函數(shù)f（x）=x（lnx+mx）有兩個(gè)極值點(diǎn)，
則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
g′（x）=

1

x

+2m，
當(dāng)m≥0時(shí)，g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，
因此g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上不可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，應(yīng)舍去．
當(dāng)m＜0時(shí)，令g′（x）=0，解得x=-

1

2m

．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜-

1

2m

，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
令g′（x）＜0，解得x＞-

1

2m

，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=-

1

2m

時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值．
當(dāng)x趨近于0與x趨近于+∞時(shí)，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則g（-

1

2m

）=ln（-

1

2m

）＞0，解得0＜-m＜

1

2

．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-

1

2

，0）．
故答案為：（-

1

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．