Question

（附加題）已知圓O：x²+y²=4與x軸正半軸交于點(diǎn)A，在圓上另取兩點(diǎn)B，C，使，平面上點(diǎn)G滿足，求點(diǎn)G的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：解法1：由，知點(diǎn)G即△ABC的重心，圓O：x²+y²=4與x軸正半軸交于點(diǎn)A，易知A（2，0）因?yàn)锽、C在圓x²+y²=4上，故設(shè)點(diǎn)B（2cosθ，2sinθ）．
由重心坐標(biāo)公式得軌跡的參數(shù)方程，化為普通方程即得點(diǎn)P的軌跡方程．
解法2：由坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法同理求得點(diǎn)G的軌跡方程為：根據(jù) ，以 ，分別得到解析式，聯(lián)立即可求出頂點(diǎn)C的軌跡E的方程．
解答：解：法1：由，知點(diǎn)G即△ABC的重心，
圓O：x²+y²=4與x軸正半軸交于點(diǎn)A，
易知A（2，0）因?yàn)锽、C在圓x²+y²=4上，故設(shè)點(diǎn)B（2cosθ，2sinθ）．
由，則，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
由重心坐標(biāo)公式得軌跡的參數(shù)方程：（θ為參數(shù)）
即
化為普通方程是：，軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．
法2：由，則，設(shè)BC的中點(diǎn)為P，易求得．
故點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=2，
連接AP，因?yàn)辄c(diǎn)G為△ABC的重心，所以點(diǎn)G為AP的一個(gè)三等分點(diǎn)．
由坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法同理求得點(diǎn)G的軌跡方程為：
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，平面向量與共線向量，向量坐標(biāo)的運(yùn)算，以及求點(diǎn)的軌跡方程．通過運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理，方便地求出坐標(biāo)的關(guān)系，考查了對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，屬于中檔題．