(附加題)已知圓O:x2+y2=4與x軸正半軸交于點(diǎn)A,在圓上另取兩點(diǎn)B,C,使∠BAC=
π
4
,平面上點(diǎn)G滿(mǎn)足
GA
+
GB
+
GC
=
0
,求點(diǎn)G的軌跡方程.
分析:解法1:由
GA
+
GB
+
GC
=
0
,知點(diǎn)G即△ABC的重心,圓O:x2+y2=4與x軸正半軸交于點(diǎn)A,易知A(2,0)因?yàn)锽、C在圓x2+y2=4上,故設(shè)點(diǎn)B(2cosθ,2sinθ).
由重心坐標(biāo)公式得軌跡的參數(shù)方程,化為普通方程即得點(diǎn)P的軌跡方程.
解法2:由坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法同理求得點(diǎn)G的軌跡方程為:(x-
2
3
)2+y2=
8
9
根據(jù)
GA
+
GB
=2
GO
,以 |
MC
|=|
MA
|
,分別得到解析式,聯(lián)立即可求出頂點(diǎn)C的軌跡E的方程.
解答:解:法1:由
GA
+
GB
+
GC
=
0
,知點(diǎn)G即△ABC的重心,
圓O:x2+y2=4與x軸正半軸交于點(diǎn)A,
易知A(2,0)因?yàn)锽、C在圓x2+y2=4上,故設(shè)點(diǎn)B(2cosθ,2sinθ).
∠BAC=
π
4
,則∠B0C=
π
2

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2cos(θ+
π
2
),2sin(θ+
π
2
))
,
由重心坐標(biāo)公式得軌跡的參數(shù)方程:
x=
1
3
(2+2cosθ+2cos(θ+
π
2
))
y=
1
3
(2sinθ+2sin(θ+
π
2
))
(θ為參數(shù))
x=
1
3
(2+2cosθ-2sinθ)
y=
1
3
(2sinθ+2cosθ)

化為普通方程是:(x-
2
3
)2+y2=
8
9
,軌跡為以點(diǎn)(
2
3
,0)
為圓心,
2
2
3
為半徑的圓.
法2:由∠BAC=
π
4
,則∠B0C=
π
2
,設(shè)BC的中點(diǎn)為P,易求得OP=
2

故點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2,
連接AP,因?yàn)辄c(diǎn)G為△ABC的重心,所以點(diǎn)G為AP的一個(gè)三等分點(diǎn).
由坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法同理求得點(diǎn)G的軌跡方程為:(x-
2
3
)2+y2=
8
9
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,平面向量與共線向量,向量坐標(biāo)的運(yùn)算,以及求點(diǎn)的軌跡方程.通過(guò)運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理,方便地求出坐標(biāo)的關(guān)系,考查了對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力,屬于中檔題.
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附加題選做題C.(極坐標(biāo)與參數(shù)方程)
在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)O(0,0),P(3
2
,
π
4
)
,求以O(shè)P為直徑的圓的極坐標(biāo)方程.

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π
4
,平面上點(diǎn)G滿(mǎn)足
GA
+
GB
+
GC
=
0
,求點(diǎn)G的軌跡方程.

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