如圖所示,已知在圓錐SO中,底面半徑r=1,母線長l=4,M為母線SA上的一個點,且SM=x,從點M拉一根繩子,圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點A,求:
(1)設(shè)f(x)為繩子最短長度的平方,求f(x)表達(dá)式;
(2)繩子最短時,頂點到繩子的最短距離;
(3)f(x)的最大值.
(1)f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4)(2)(3)32
解析試題分析:將圓錐的側(cè)面沿SA展開在平面上,如圖,則該展開圖為扇形,且弧AA′的長度L就是⊙O的周長,
∴L=2πr=2π.∴∠ASA′=×360°=×360°=90°,
(1)由題意知,繩長的最小值為展開圖中的AM,其值為AM= (0≤x≤4),
∴f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).
(2)繩子最短時,在展開圖中作SR⊥AM,垂足為R,則SR的長度為頂點S到繩子的最短距離.在△SAM中,∵S△SAM=SA·SM=AM· SR,
∴SR== (0≤x≤4).
(3)∵f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函數(shù),∴f(x)的最大值為f(4)=32.
考點:本小題主要考查扇形的弧長、面積公式等的應(yīng)用,考查學(xué)生的運算求解能力.
點評:解決此類問題的關(guān)鍵是正確轉(zhuǎn)化,將所要求解的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是邊長為a的正三角形,側(cè)棱長為b,側(cè)棱AA'與底面相鄰兩邊AB,AC都成45°角.
(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面積.
(Ⅱ)求三棱錐B'-ABC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,正三棱柱中,側(cè)面是邊長為2的正方形,是的中點,在棱上.
(1)當(dāng)時,求三棱錐的體積.
(2)當(dāng)點使得最小時,判斷直線與是否垂直,并證明結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題12分)如圖所示,三棱柱A1B1C1—ABC的三視圖中,正(主)視圖和側(cè)(左)視圖是全等的矩形,俯視圖是等腰直角三角形,點M是A1B1的中點.
(1)求證:B1C∥平面AC1M;
(2)求證:平面AC1M⊥平面AA1B1B.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分10分) 在長方體中,分別是的中點,
,.
(Ⅰ)求證://平面;
(Ⅱ)在線段上是否存在點,使直線與垂直,
如果存在,求線段的長,如果不存在,請說明理由.
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