【題目】已知橢圓：的左、右焦點為，，上、下頂點為，，四邊形是面積為2的正方形.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點，過點的直線與橢圓交于，兩點，求證：.

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）利用正方形的面積和邊長關系列方程組，結合解方程組求得的值，進而求得橢圓的標準方程.

（2）當直線斜率不存在時，根據(jù)對稱性判斷出；當直線斜率存在時，設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，化簡后寫出韋達定理，計算，由此證得.

（1）解：∵四邊形是面積為2的正方形，

∴，

又，∴，

則橢圓的標準方程是；

（2）證明：由（1）知，，

當直線的斜率不存在時，軸，

則點，關于軸對稱，

此時有，；

當直線的斜率存在時，

設直線的方程為，

聯(lián)立消去得，

，

設，，

則，，

∵，∴

，

即，∴.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗，并將這些經(jīng)驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了所在地區(qū)的天日落和夜晚天氣，得到如下列聯(lián)表：

夜晚天氣日落云里走

下雨

未下雨

出現(xiàn)

未出現(xiàn)

參考公式：.

臨界值表：

（1）根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷能否有的把握認為“當晚下雨”與“‘日落云里走’出現(xiàn)”有關？

（2）小波同學為進一步認識其規(guī)律，對相關數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)從上述調(diào)查的“夜晚未下雨”天氣中按分層抽樣法抽取天，再從這天中隨機抽出天進行數(shù)據(jù)分析，求抽到的這天中僅有天出現(xiàn)“日落云里走”的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】陽馬和鱉臑（bienao）是《九章算術·商功》里對兩種錐體的稱謂.如圖所示，取一個長方體，按下圖斜割一分為二，得兩個模一樣的三棱柱，稱為塹堵（如圖）.再沿其中一個塹堵的一個頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個，有一棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬（四棱錐）余下三棱錐稱為鱉臑（三棱錐）若將某長方體沿上述切割方法得到一個陽馬一個鱉臑，且該陽馬的正視圖和鱉臑的側視圖如圖所示，則可求出該陽馬和鱉臑的表面積之和為（ ）

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】第7屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行，賽期10天，共設置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項，329個小項，共有來自100多個國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技．前期為迎接軍運會順利召開，特招聘了3萬名志愿者．某部門為了了解志愿者的基本情況，調(diào)查了其中100名志愿者的年齡，得到了他們年齡的中位數(shù)為34歲，年齡在歲內(nèi)的人數(shù)為15人，并根據(jù)調(diào)查結果畫出如所示的頻率分布直方圖：

（1）求，的值并估算出志愿者的平均年齡（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）本次軍運會志愿者主要通過直接到武漢軍運會執(zhí)委會志愿者部現(xiàn)場報名和登錄第七屆世界軍運會官網(wǎng)報名，即現(xiàn)場和網(wǎng)絡兩種方式報名調(diào)查．這100位志愿者的報名方式部分數(shù)據(jù)如下表所示，完善下面的表格，通過計算說明能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為“選擇哪種報名方式與性別有關系”？

男性

女性

總計

現(xiàn)場報名

50

網(wǎng)絡報名

31

總計

50

參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有限個元素組成的集合，，記集合中的元素個數(shù)為，即.定義，集合中的元素個數(shù)記為，當時，稱集合具有性質(zhì).

（1），，判斷集合，是否具有性質(zhì)，并說明理由；

（2）設集合，且()，若集合具有性質(zhì)，求的最大值；

（3）設集合，其中數(shù)列為等比數(shù)列，()且公比為有理數(shù)，判斷集合是否具有性質(zhì)并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，在直角梯形中，AB∥CD，，且．現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，如圖2．

（Ⅰ）求證：BC⊥平面DBE；

（Ⅱ）求點D到平面BEC的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，某校打算在長為1千米的主干道一側的一片區(qū)域內(nèi)臨時搭建一個強基計劃高校咨詢和宣傳臺，該區(qū)域由直角三角形區(qū)域（為直角）和以為直徑的半圓形區(qū)域組成，點（異于，）為半圓弧上一點，點在線段上，且滿足.已知，設，且.初步設想把咨詢臺安排在線段，上，把宣傳海報懸掛在弧和線段上.

（1）若為了讓學生獲得更多的咨詢機會，讓更多的省內(nèi)高校參展，打算讓最大，求該最大值；

（2）若為了讓學生了解更多的省外高校，貼出更多高校的海報，打算讓弧和線段的長度之和最大，求此時的的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】折紙是一項藝術，可以折出很多數(shù)學圖形．將一張圓形紙片放在平面直角坐標系中，圓心B（－1，0），半徑為4，圓內(nèi)一點A為拋物線的焦點．若每次將紙片折起一角，使折起部分的圓弧的一點始終與點A重合，將紙展平，得到一條折痕，設折痕與線段B的交點為P．

（Ⅰ）將紙片展平后，求點P的軌跡C的方程；

（Ⅱ）已知過點A的直線l與軌跡C交于R，S兩點，當l無論如何變動，在AB所在直線上存在一點T，使得所在直線一定經(jīng)過原點，求點T的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為___.

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