【題目】折紙是一項藝術(shù),可以折出很多數(shù)學(xué)圖形.將一張圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中,圓心B(-1,0),半徑為4,圓內(nèi)一點A為拋物線的焦點.若每次將紙片折起一角,使折起部分的圓弧的一點始終與點A重合,將紙展平,得到一條折痕,設(shè)折痕與線段B的交點為P.
(Ⅰ)將紙片展平后,求點P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)已知過點A的直線l與軌跡C交于R,S兩點,當(dāng)l無論如何變動,在AB所在直線上存在一點T,使得所在直線一定經(jīng)過原點,求點T的坐標(biāo).
【答案】(Ⅰ)軌跡C的方程為;(Ⅱ)點T的坐標(biāo)為(4,0).
【解析】
(Ⅰ)依題意知PA=P,P的軌跡是以B、A為焦點,長軸長為4,焦距為2的橢圓,由題意能求出其橢圓方程;(Ⅱ)題意等價于在AB所在直線上存在一點T,使得TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱,當(dāng)直線l垂直于x軸時,x軸上任意一點都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱,當(dāng)直線l不垂直于x軸時,假設(shè)存在T(t,0)滿足條件,設(shè)l的方程為y=k(x﹣1),R(x1,y1),S(x2,y2),聯(lián)立,得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,由此利用根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、直線關(guān)于x軸對稱,結(jié)合已知條件能求出存在T(4,0),使得當(dāng)l變化時,總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱.
(Ⅰ)依題意:折痕所在直線m為線段的垂直平分線,∴PA=P,
∴PB+PA= PB + P=4>2,
∴P的軌跡是以B、A為焦點,長軸長為4,焦距為2的橢圓.
∴b2=3.
∴橢圓方程為.
(Ⅱ)由題意可知:在AB所在直線上存在一點T,使得所在直線一定經(jīng)過原點等價于在AB所在直線上存在一點T,使得TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱
當(dāng)直線l垂直于x軸時,x軸上任意一點都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱,
當(dāng)直線l不垂直于x軸時,假設(shè)存在T(t,0)滿足條件,
設(shè)l的方程為y=k(x﹣1),R(x1,y1),S(x2,y2),
聯(lián)立,得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系得,①,其中△>0,
∵TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱,∴=0,②
∵R,S兩點在直線y=k(x﹣1)上,
∴y1=k(x1﹣1),y2=k(x2﹣1),代入②,得:
==0,
∴2x1x2﹣(t+1)(x1+x2)+2t=0,③
將①代入③,得==0,④
要使得④與k的取值無關(guān),則t=4,
綜上所述,存在T(4,0),使得當(dāng)l變化時,總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱,即在AB所在直線上存在一點T,使得所在直線一定經(jīng)過原點.
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【題目】設(shè),函數(shù).
(1)若,極大值;
(2)若無零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若有兩個相異零點,,求證:.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求圓的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與圓交于兩點,是圓上不同于兩點的動點,求面積的最大值.
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【題目】已知橢圓的左、右頂點分別為,,且以線段為直徑的圓與直線相切,橢圓截直線所得線段的長度為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點的動直線與橢圓相交于,兩點,若(為坐標(biāo)原點),求直線的斜率的取值范圍.
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【題目】為了改善市民的生活環(huán)境,長沙某大型工業(yè)城市決定對長沙市的1萬家中小型化工企業(yè)進(jìn)行污染情況摸排,并出臺相應(yīng)的整治措施.通過對這些企業(yè)的排污口水質(zhì),周邊空氣質(zhì)量等的檢驗,把污染情況綜合折算成標(biāo)準(zhǔn)分100分,發(fā)現(xiàn)長沙市的這些化工企業(yè)污染情況標(biāo)準(zhǔn)分基本服從正態(tài)分布N(50,162),分值越低,說明污染越嚴(yán)重;如果分值在[50,60]內(nèi),可以認(rèn)為該企業(yè)治污水平基本達(dá)標(biāo).
(Ⅰ)如圖為長沙市的某工業(yè)區(qū)所有被調(diào)査的化工企業(yè)的污染情況標(biāo)準(zhǔn)分的頻率分布直方圖,請計算這個工業(yè)區(qū)被調(diào)査的化工企業(yè)的污染情況標(biāo)準(zhǔn)分的平均值,并判斷該工業(yè)區(qū)的化工企業(yè)的治污平均值水平是否基本達(dá)標(biāo);
(Ⅱ)大量調(diào)査表明,如果污染企業(yè)繼續(xù)生產(chǎn),那么標(biāo)準(zhǔn)分低于18分的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為10萬元,標(biāo)準(zhǔn)分在[18,34)內(nèi)的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為4萬元.長沙市決定關(guān)停80%的標(biāo)準(zhǔn)分低于18分的化工企業(yè)和60%的標(biāo)準(zhǔn)分在[18,34)內(nèi)的化工企業(yè),每月可減少的直接損失約有多少?
(附:若隨機變量,則, ,)
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【題目】若整數(shù)、既不互素,又不存在整除關(guān)系,則稱、為一個“聯(lián)盟”數(shù)對.設(shè)為集的元子集,且中任兩數(shù)均為聯(lián)盟數(shù)對.求的最大值
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【題目】設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)=ex﹣2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)求證:當(dāng)a>ln2﹣1且x>0時,ex>x2﹣2ax+1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列,中,已知,,且,,成等差數(shù)列,,,也成等差數(shù)列.
求證:是等比數(shù)列;
設(shè)m是不超過100的正整數(shù),求使成立的所有數(shù)對.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市有一面積為12000平方米的三角形地塊,其中邊長為200米,現(xiàn)計劃建一個如圖所示的長方形停車場,停車場的四個頂點都在的三條邊上,其余的地面全部綠化.若建停車場的費用為180元/平方米,綠化的費用為60元/平方米,設(shè)米,建設(shè)工程的總費用為元.
(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式:
(2)求停車場面積最大時的值,并求此時的工程總費用.
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