Question

函數(shù)f（x）=ln（x+1）-

ax

x+a

（a＞1）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)a₁=1，a_n+1=ln（a_n+1），證明：

2

n+2

＜a_n≤

3

n+2

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)學(xué)歸納法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的取值范圍，即可得到f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），f′（x）=

x[x-(a2-2a)]

(x+1)(x+a)2

，
①當(dāng)1＜a＜2時(shí)，若x∈（-1，a²-2a），則f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（-1，a²-2a）上是增函數(shù)，
若x∈（a²-2a，0），則f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（a²-2a，0）上是減函數(shù)，
若x∈（0，+∞），則f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
②當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，
③當(dāng)a＞2時(shí)，若x∈（-1，0），則f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（-1，0）上是增函數(shù)，
若x∈（0，a²-2a），則f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，a²-2a）上是減函數(shù)，
若x∈（a²-2a，+∞），則f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（a²-2a，+∞）上是增函數(shù)．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a=2時(shí)，此時(shí)函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞f（0）=0，
即ln（x+1）＞

2x

x+2

，（x＞0），
又由（Ⅰ）知，當(dāng)a=3時(shí)，f（x）在（0，3）上是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜

3x

x+2

，
下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明

2

n+2

＜a_n≤

3

n+2

成立，
①當(dāng)n=1時(shí)，由已知

2

3

＜a1=1，故結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即

2

k+2

＜ak≤

3

k+2

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_n+1=ln（a_n+1）＞ln（

2

k+2

+1）＞

2× 2 k+2

2 k+2 +2

=

2

k+3

，
a_n+1=ln（a_n+1）＜ln（

3

k+2

+1）＜

3× 3 k+2

3 k+2 +3

=

3

k+3

，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，

2

k+3

＜ak+1≤

3

k+3

成立，
綜上由①②可知，對(duì)任何n∈N^•結(jié)論都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，綜合性較強(qiáng)，難度較大．