Question

①如圖中△ABC，若AB、BC在平面α內(nèi)，判斷AC是否在平面α內(nèi).

②“線段AB在平面α內(nèi)，直線AB不全在平面α內(nèi)”這一說法是否正確，為什么？

③如果一條直線過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)，那么它和這個(gè)平面有幾個(gè)公共點(diǎn)？說明道理.

④“平面α與平面β只有一個(gè)公共點(diǎn)”，這一說法是否正確？說明道理.

Answer 1

解析①∵AB在平面α內(nèi)，

∴A點(diǎn)一定在平面α內(nèi).

∵BC在平面α內(nèi).

∴C點(diǎn)一定在平面α內(nèi).

∴點(diǎn)A、點(diǎn)C都在平面α內(nèi).

∴直線AC在平面α內(nèi)(公理1).

②不正確.

∵線段AB在平面α內(nèi)

∴線段AB上的所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，

∴線段上的A、B兩點(diǎn)一定在平面α內(nèi)，

∴直線AB在平面α內(nèi)(公理1).

③這條直線和這個(gè)平面只有一個(gè)公共點(diǎn).

假如這條直線和這個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)公理1可得，這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，推得這條直線過平面外的一點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi).這與已知矛盾.這說明直線與這個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)是不可能的，所以，這條直線與這個(gè)平面只有一個(gè)公共點(diǎn).

④不正確.

∵根據(jù)公理3知，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他的公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條通過這個(gè)公共點(diǎn)的直線.

∴可知平面α與平面β有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).

∴“平面α與平面β只有一個(gè)公共點(diǎn)”這一說法不正確.