【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R),且f(0)=1,
(1)求f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈[﹣1,1]時,求函數(shù)g(x)=f(x)﹣2x的值域.

【答案】
(1)解:設(shè)二次函數(shù)的解析式為f(x)=ax2+bx+c (a≠0),

由f(0)=1得c=1,

故f(x)=ax2+bx+1.

因為f(x+1)﹣f(x)=2x,

所以a(x+1)2+b(x+1)+1﹣(ax2+bx+1)=2x.

即2ax+a+b=2x,

根據(jù)系數(shù)對應(yīng)相等 ,

,

所以f(x)=x2﹣x+1


(2)解:當(dāng)x∈[﹣1,1]時,函數(shù)g(x)=f(x)﹣2x=x2﹣3x+1

=(x﹣ 2 ,

對稱軸為x= ,區(qū)間[﹣1,1]在對稱軸的左邊,為減區(qū)間,

即有x=﹣1時取得最大值,且為5,x=1時取得最小值,且為﹣1.

故值域為[﹣1,5]


【解析】(1)要求二次函數(shù)的解析式,利用直接設(shè)解析式的方法,一定要注意二次項系數(shù)不等于零,在解答的過程中使用系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,解方程組求的結(jié)果;(2)求得二次函數(shù)g(x)的解析式,求得對稱軸,可得[﹣1,]為減區(qū)間,即可得到最值,進而得到值域.
【考點精析】掌握函數(shù)的值域和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最。ù螅⿺(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的;當(dāng)時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.

練習(xí)冊系列答案
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日期

1日

2日

3日

4日

5日

6日

7日

人數(shù)(萬)

11

13

8

9

7

8

10

(1)把這7天的參觀人數(shù)看成一個總體,求該總體的眾數(shù)和平均數(shù)(精確到0.1);

(2)用簡單隨機抽樣方法從10月1日到10月4日中抽取2天,它們的參觀人數(shù)組成一個樣本,求該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過1萬的概率.

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