Question

在四棱錐P-ABCD中，∠ABC═∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥底面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積V；
（2）求二面角E-AC-D的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,作圖題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）將平面ABCD單獨拿出來求面積，再求體積即可；
（2）取AD、AC的中點F，G，連結(jié)EF，F(xiàn)G，EG；從而可得∠EGF為二面角E-AC-D的平面角，在Rt△EFG中求角．

解答： 解：（1）在平面ABCD中，
在Rt△BAC中，
∠ABC═90°，∠BAC=60°，AB=1，
∴BC=

3

，AC=2；
在Rt△DAC中，
∠ACD═90°，∠CAD=60°，AC=2，
∴CD=2

3

，AD=4；
故底面ABCD的面積為S=

1

2

×1×

3

+

1

2

×2×2

3

=

5 3

2

；
V_P-ABCD=

1

3

×S×PA=

1

3

×

5 3

2

×2=

5 3

3

．
（2）如圖，取AD、AC的中點F，G，
連結(jié)EF，F(xiàn)G，EG；
則EF∥PA，
又∵PA⊥底面ABCD，
∴EF⊥底面ABCD，
又∵FG∥CD，CD⊥AC，
∴FG⊥AC，
∴∠EGF為二面角E-AC-D的平面角，
在Rt△EFG中，
EF=

1

2

PA=1，GF=

1

2

CD=

3

，
∴tan∠EGF=

EF

GF

=

3

3

，
∴∠EGF=30°；
即二面角E-AC-D的大小為30°．

點評：本題考查了學(xué)生的空間想象力及計算能力，屬于中檔題．