【題目】已知點(diǎn)P為函數(shù)f(x)=lnx的圖象上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q為圓[x﹣(e+ )]2+y2=1任意一點(diǎn),則線段PQ的長度的最小值為( )
A.
B.
C.
D.e+ ﹣1
【答案】C
【解析】解:由圓的對稱性可得只需考慮圓心Q(e+ ,0) 到函數(shù)f(x)=lnx圖象上一點(diǎn)的距離的最小值.
設(shè)f(x)圖象上一點(diǎn)(m,lnm),
由f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)= ,
即有切線的斜率為k= ,
可得 =﹣m,
即有l(wèi)nm+m2﹣(e+ )m=0,
由g(x)=lnx+x2﹣(e+ )x,可得g′(x)= +2x﹣(e+ ),
當(dāng)2<x<3時,g′(x)>0,g(x)遞增.
又g(e)=lne+e2﹣(e+ )e=0,
可得x=e處點(diǎn)(e,1)到點(diǎn)Q的距離最小,且為 ,
則線段PQ的長度的最小值為為 ﹣1,即 .
故選:C.
由圓的對稱性可得只需考慮圓心Q(e+ ,0)到函數(shù)f(x)=lnx圖象上一點(diǎn)的距離的最小值.設(shè)f(x)圖象上一點(diǎn)P(m,lnm),求得切線的斜率,由兩直線垂直的條件:斜率之積為﹣1,可得lnm+m2﹣(e+ )m=0,由g(x)=lnx+x2﹣(e+ )x,求出導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,可得零點(diǎn)e,運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到所求值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,點(diǎn)P在底面的射影為點(diǎn)O,PO=3,點(diǎn)E為線段PD中點(diǎn).
(1)求證:PB∥平面AEC;
(2)若點(diǎn)F為側(cè)棱PA上的一點(diǎn),當(dāng)PA⊥平面BDF時,試確定點(diǎn)F的位置,并求出此時幾何體F﹣BDC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某顏料公司生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,其中生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品,需要甲染料1噸,乙染料4噸,丙染料2噸,生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品,需要甲染料1噸,乙染料0噸,丙染料5噸,且該公司一條之內(nèi)甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過50噸、160噸和200噸,如果A產(chǎn)品的利潤為300元/噸,B產(chǎn)品的利潤為200元/噸,則該顏料公司一天之內(nèi)可獲得的最大利潤為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下面四個推理:
①由“若是實(shí)數(shù),則”推廣到復(fù)數(shù)中,則有“若是復(fù)數(shù),則”;
②由“在半徑為R的圓內(nèi)接矩形中,正方形的面積最大”類比推出“在半徑為R的球內(nèi)接長方體中,正方體的體積最大”;
③以半徑R為自變量,由“圓面積函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是圓的周長函數(shù)”類比推出“球體積函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是球的表面積函數(shù)”;
④由“直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)、的中點(diǎn)坐標(biāo)為”類比推出“極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)、的中點(diǎn)坐標(biāo)為”.
其中,推理得到的結(jié)論是正確的個數(shù)有( )個
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=xex(e為自然對數(shù)的底數(shù)),g(x)=(x+1)2 . (I)記 .
(i)討論函數(shù)F(x)單調(diào)性;
(ii)證明當(dāng)m>0時,F(xiàn)(﹣1+m)>F(﹣1﹣m)恒成立;
(II)令G(x)=af(x)+g(x)(a∈R),設(shè)函數(shù)G(x)有兩個零點(diǎn),求參數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】鄉(xiāng)大學(xué)生攜手回鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),他們引進(jìn)某種果樹在家鄉(xiāng)進(jìn)行種植試驗(yàn).他們分別在五種不同的試驗(yàn)田中種植了這種果樹100株并記錄了五種不同的試驗(yàn)田中果樹的死亡數(shù),得到如下數(shù)據(jù):
試驗(yàn)田 | 試驗(yàn)田1 | 試驗(yàn)田2 | 試驗(yàn)田3 | 試驗(yàn)田4 | 試驗(yàn)田5 |
死亡數(shù) | 23 | 32 | 24 | 29 | 17 |
(Ⅰ)求這五種不同的試驗(yàn)田中果樹的平均死亡數(shù);
(Ⅱ)從五種不同的試驗(yàn)田中隨機(jī)取兩種試驗(yàn)田的果樹死亡數(shù),記為x,y,用(x,y)的形式列出所有的基本事件,其中(x,y)和(y,x)視為同一事件,并求的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐中,過點(diǎn)的三條棱PA、AB、AD兩兩垂直且相等,E,F(xiàn)分別是AC,PB的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:EF//平面PCD;
(Ⅱ)求EF與平面PAC所成角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,AA1=t,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz.
(1)若t=1,求異面直線AC1與A1B所成角的大;
(2)若t=5,求直線AC1與平面A1BD所成角的正弦值;
(3)若二面角A1—BD—C的大小為120°,求實(shí)數(shù)t的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,,,,,,.
(1)求直線與平面所成角的正弦值.
(2)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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