【題目】如圖,在各棱長均為2的三棱柱中,側(cè)面底面ABC,

1)求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大;

2)已知點(diǎn)D滿足,在直線上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面?若存在,請確定點(diǎn)P的位置,若不存在,請說明理由.

【答案】12)恰好為點(diǎn).

【解析】

1)建立空間直角坐標(biāo)系,求出AA1向量,平面AA1C1C的法向量,然后求出側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大。

(2)在(1)的前提下,求出,設(shè)出P的坐標(biāo),使DP∥平面AB1C,即與法向量共線,再求出P的坐標(biāo).

1)∵側(cè)面底面ABC,作A1OAC于點(diǎn)O

平面

,且各棱長都相等,

,,

故以O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

,,

,

設(shè)平面的法向量為

,取,得

設(shè)側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的為θ

,

∴側(cè)棱與平面所成角的正弦值為

2)∵,而,

,又∵,∴點(diǎn)

假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意,則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為,∴

DP∥平面為平面的法向量,∴,得z=,

又由,得,∴

平面,故存在點(diǎn)P,使DP∥平面,其坐標(biāo)為

即恰好為點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,在△中,,分別為,的中點(diǎn),的中點(diǎn),,將△沿折起到△的位置,使得平面平面,如圖2.

(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求直線和平面所成角的正弦值

(Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn),使得直線所成角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,說明理由

圖1 圖2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知三棱錐的三條側(cè)棱 兩兩垂直, 為等邊三角形, 內(nèi)部一點(diǎn),點(diǎn)的延長線上,且

Ⅰ)證明:

Ⅱ)證明: ;

,求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,正方體的棱長為2,PBC的中點(diǎn),Q為線段上的動點(diǎn),過點(diǎn)AP,Q的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是______(寫出所有正確命題的編號).

①當(dāng)時,S為四邊形;②當(dāng)時,S為等腰梯形;③當(dāng)時,S的交點(diǎn)R滿足;④當(dāng)時,S為五邊形;⑤當(dāng)時,S的面積為

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,在四棱臺ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120°,ABAA1=2A1B1=2.

(1)若MCD中點(diǎn),求證:AM⊥平面AA1B1B;

(2)求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為 ,數(shù)列滿足點(diǎn)在直線上.

(1)求數(shù)列, 的通項(xiàng),

(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和

(3)若,求對所有的正整數(shù)都有成立的的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若數(shù)列共有k項(xiàng),且同時滿足,,則稱數(shù)列數(shù)列.

1)若等比數(shù)列數(shù)列,求的值;

2)已知為給定的正整數(shù),且

①若公差為的等差數(shù)列數(shù)列,求公差d

②若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,其中常數(shù),判斷數(shù)列是否為數(shù)列,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】治理大氣污染刻不容緩,根據(jù)我國分布的《環(huán)境空氣質(zhì)量數(shù)(AQI)技術(shù)規(guī)定》:空氣質(zhì)量指數(shù)劃分階為0~50、51~100、101~150、151~200、201~300和大于300六級,對應(yīng)于空氣質(zhì)量指數(shù)的六個級別,指數(shù)越大,級別越高,說明污染越嚴(yán)重,對人體健康的影響也越明顯.專家建議:當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)小于時,可以戶外運(yùn)動;空氣質(zhì)量指數(shù)及以上,不適合進(jìn)行旅游等戶外活動,以下是某市月中旬的空氣質(zhì)量指數(shù)情況:

時間

11日

12日

13日

14日

15日

16日

17日

18日

19日

20日

AQI

149

143

251

254

138

55

69

102

243

269

(1)求月中旬市民不適合進(jìn)行戶外活動的概率;

(2)一外地游客在月中旬來該市旅游,想連續(xù)游玩兩天,求適合旅游的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

)討論的單調(diào)性;

)若有兩個零點(diǎn),求的取值范圍.

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