Question

已知，其中e為自然對數的底數.
（1）若是增函數，求實數的取值范圍；
（2）當時，求函數上的最小值；
（3）求證：.

Answer 1

（1）實數的取值范圍是.
（2）當時，；
當時，；
當時，.
（3）見解析.

試題分析：（1）由題意知在上恒成立.
根據，知在上恒成立，即在上恒成立. 只需求時，的最大值.
（2）當時，則.
根據，分別得到的增區(qū)間為（2，＋∞），減區(qū)間為（－∞，0），（0，2）. 因為，所以，
因此，要討論①當，即時，②當，即時，③當時等三種情況下函數的最小值.
（3）由（2）可知，當時，，從而
可得 ，
故利用



（1）由題意知在上恒成立.
又，則在上恒成立，
即在上恒成立. 而當時，，所以，
于是實數的取值范圍是.                     4分
（2）當時，則.
當，即時，；
當，即時，.
則的增區(qū)間為（2，＋∞），減區(qū)間為（－∞，0），（0，2）.   6分
因為，所以，
①當，即時，在[]上單調遞減，
所以
②當，即時，在上單調遞減，
在上單調遞增，所以
③當時，在[]上單調遞增，所以.
綜上，當時，；
當時，；
當時，.              9分
（3）由（2）可知，當時，，所以
可得                 11分
于是



                               14分