【題目】已知橢圓的離心率為,過右焦點(diǎn)F與長(zhǎng)軸垂直的直線與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)M,.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)斜率為1的直線l與橢圓相交于B,D兩點(diǎn),若以線段BD為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn),求直線l的方程.
【答案】(1).(2) y=x或y=x.
【解析】
(1)根據(jù)離心率得到a2=2 c2,根據(jù)得到,計(jì)算得到答案.
(2)設(shè) l 的方程為:y=x+m,B(x1,y1),D(x2,y2),聯(lián)立方程,利用韋達(dá)定理得到x1+x2,x1 x2,代入計(jì)算得到答案.
(1)∵橢圓的離心率為,∴e,即a2=2c2①,
∵過右焦點(diǎn)F與長(zhǎng)軸垂直的直線與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)M,.
∴M(c,)再代入橢圓方程得,②,又a2=b2+c2③,
聯(lián)立①②③得,b2=c2=1,a2=2,∴橢圓方程:.
(2)設(shè) l 的方程為:y=x+m,B(x1,y1),D(x2,y2),
聯(lián)立,得3x2+4mx+2m2﹣2=0,
x1+x2,x1 x2,y1+y2,y1 y2,
∵以線段BD為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn),
∴0,
∴m.
∴直線l方程為 y=x或y=x.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,離心率為,是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)是的上頂點(diǎn)時(shí),的面積為.
(1)求的方程;
(2)設(shè)斜率存在的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為.若存在點(diǎn),使得,求的取值范圍.
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【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離少2.
(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程.
(2)過點(diǎn)F的兩直線l1、l2分別與軌跡E交于A,B兩點(diǎn)和C,D兩點(diǎn),且滿足=0,設(shè)M,N兩點(diǎn)分別是線段AB,CD的中點(diǎn),問直線MN是否恒過一定點(diǎn),若經(jīng)過,求定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平行四邊形中,,,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),分別沿.將和折起,使得平面平面(點(diǎn)在平面的同側(cè)),連接,如圖2所示.
(1)求證:;
(2)當(dāng),且平面平面時(shí),求三棱錐的體積.
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【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的比值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),.若點(diǎn)在以線段為直徑的圓上,求直線的方程.
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【題目】已知橢圓C: 的右焦點(diǎn)為F(2,0),過點(diǎn)F的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)且MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)P(0,b)且與C相交于A,B兩點(diǎn),若直線PA與直線PB的斜率的和為1,試判斷直線 l是否經(jīng)過定點(diǎn),若經(jīng)過定點(diǎn),請(qǐng)求出該定點(diǎn);若不經(jīng)過定點(diǎn),請(qǐng)給出理由.
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【題目】“水是生命之源”,但是據(jù)科學(xué)界統(tǒng)計(jì)可用淡水資源僅占地球儲(chǔ)水總量的,全世界近人口受到水荒的威脅.某市為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸):一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)設(shè)該市有60萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于2.5噸的人數(shù),并說明理由;
(3)若該市政府希望使的居民每月的用水不按議價(jià)收費(fèi),估計(jì)的值,并說明理由.
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【題目】為了調(diào)查民眾對(duì)國家實(shí)行“新農(nóng)村建設(shè)”政策的態(tài)度,現(xiàn)通過網(wǎng)絡(luò)問卷隨機(jī)調(diào)查了年齡在20周歲至80周歲的100人,他們年齡頻數(shù)分布和支持“新農(nóng)村建設(shè)”人數(shù)如下表:
(1)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面的2×2列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為以50歲為分界點(diǎn)對(duì)“新農(nóng)村建設(shè)”政策的支持度有差異;
(2)為了進(jìn)一步推動(dòng)“新農(nóng)村建設(shè)”政策的實(shí)施,中央電視臺(tái)某節(jié)目對(duì)此進(jìn)行了專題報(bào)道,并在節(jié)目最后利用隨機(jī)撥號(hào)的形式在全國范圍內(nèi)選出4名幸運(yùn)觀眾(假設(shè)年齡均在20周歲至80周歲內(nèi)),給予適當(dāng)?shù)莫?jiǎng)勵(lì).若以頻率估計(jì)概率,記選出4名幸運(yùn)觀眾中支持“新農(nóng)村建設(shè)”人數(shù)為,試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
參考公式:.
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