【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，判斷在定義域上的單調(diào)性；

（2）若對(duì)定義域上的任意的，有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）證明：，.

【答案】（1）因?yàn)?/span>所以在上單調(diào)遞減，（2），（3）證明見解析.

【解析】

(1)求導(dǎo)后利用基本不等式證明導(dǎo)函數(shù)小于等于0即可.

(2) ,再分、和三種情況分別討論函數(shù)的最大值分析即可.

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論知,對(duì)任意都成立, 取再累加求證即可.

（1）當(dāng)時(shí),,故

因?yàn)?/span>,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故

所以在上單調(diào)遞減.

（2）∵,

當(dāng)時(shí),則,∴在上單調(diào)遞增, ,

當(dāng)時(shí),令,解得,

當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,

∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則時(shí),

,

當(dāng)時(shí), ,在上單調(diào)遞減,則,

∴

（3）當(dāng)時(shí),成立

當(dāng)時(shí),由（2）知,對(duì)任意都成立

取,,則

所以

當(dāng)時(shí)

所以

所以

所以

所以

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】己知函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)為.

（1）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)存在極小值點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，四條直線，所圍成的區(qū)域面積為.

（1）求的方程；

（2）設(shè)過的直線與交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)弦的中點(diǎn)為，且（為原點(diǎn)），求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象在處的切線與函數(shù)的圖象在處的切線互相平行.

（1）求的值；

（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某人利用一根原木制作一件手工作品，該作品由一個(gè)球體和一個(gè)正四棱柱組成，假定原 木為圓柱體（如圖1），底面半徑為，高為，制作要求如下：首先需將原木切割為兩部分（分別稱為第I圓柱和第II圓柱），要求切面與原木的上下底面平行（不考慮損耗） 然后將第I圓柱切割為一個(gè)球體，要求體積最大，將第II圓柱切割為一個(gè)正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分別為第II圓柱上下底面圓的內(nèi)接正方形.

（1）當(dāng)時(shí)，若第I圓柱和第II圓柱的體積相等，求該手王作品的體積；

（2）對(duì)于給定的和，求手工作品體積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校高三年級(jí)有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成5組：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）從樣本中分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求兩人恰好為一男一女的概率；

（2）若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”？

附：

P(K2≥k0)

0.100

0.050

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

6.635

10.828

，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某校甲、乙、丙三個(gè)興趣小組的學(xué)生人數(shù)分別為36，24，24.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠質(zhì)量的調(diào)查.

（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)興趣小組的學(xué)生中分別抽取多少人？

（2）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.用表示抽取的3人中睡眠充足的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線E：（）的焦點(diǎn)為F，圓C:，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的面積為.

（1）求拋物線E的方程；

（2）若，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則b的取值范圍是_____

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