【題目】某人利用一根原木制作一件手工作品，該作品由一個球體和一個正四棱柱組成，假定原 木為圓柱體（如圖1），底面半徑為，高為，制作要求如下：首先需將原木切割為兩部分（分別稱為第I圓柱和第II圓柱），要求切面與原木的上下底面平行（不考慮損耗） 然后將第I圓柱切割為一個球體，要求體積最大，將第II圓柱切割為一個正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分別為第II圓柱上下底面圓的內(nèi)接正方形.

（1）當時，若第I圓柱和第II圓柱的體積相等，求該手王作品的體積；

（2）對于給定的和，求手工作品體積的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由已知可得第I圓柱和第II圓柱高相等為4，等于圓柱底面直徑，第I圓柱的球體最大直徑為4，再由條件可求出正四棱柱的底面邊長，從而求出體積，即可求解；

（2）設第I圓柱的高為，則第II圓柱的高為，求出正四棱柱體積為，而球半徑為與較小值，對分類討論，當是，球的半徑為，體積定值，只需求最大值即可；當，球最大半徑為，求出球的體積與正四棱柱體積和，通過求導，求出最大值，對比兩個范圍的最大值，即可求解.

（1）因為第I圓柱和第II圓柱的體積一樣大，

所以它們的高一樣，可設為

第I圓柱的球體直徑不超過和

因此第I圓柱內(nèi)的最大球體半徑即為

球體體積

因為正四棱柱的底面正方形內(nèi)接于半徑為的圓

所以正方形的對角線長為，邊長為

正四棱柱體積，

手工作業(yè)的體積為.

（2）設第I圓柱的高為，則第II圓柱的高為，

①當時，第I圓柱內(nèi)的球體直徑應不超過和，

故球體的最大半徑應為

由（1）可知，此時第II圓柱內(nèi)的正四棱柱底面積為，

故當時，最大為，

手工作品的體積最大值為.

②當時，第I圓柱內(nèi)的球體直徑應不超過和，

故球體的最大直徑應為，

球體體積，

正四棱柱體積

所以手工作品的體積為.

.

令

遞減

極小

遞增

，

因為，

所以

所以當時，

手工作品的體積最大值為

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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

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3，…．

（Ⅰ） 若數(shù)列：求數(shù)列；

（Ⅱ） 若數(shù)列共有10項，則數(shù)列中連續(xù)兩項相等的數(shù)對至少有多少對？請說明理由；

（Ⅲ）若為0，1，記數(shù)列中連續(xù)兩項都是0的數(shù)對個數(shù)為，．求關于的表達式．

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（1）試估計該市市民的購房面積的中位數(shù)；

（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購房面積位于的位市民中隨機抽取人，再從這人中隨機抽取人，求這人的購房面積恰好有一人在的概率；

（3）根據(jù)散點圖選擇和兩個模型進行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程，分別為和，并得到一些統(tǒng)計量的值如下表所示：

0.000591

0.000164

0.006050

請利用相關指數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預測出年月份的二手房購房均價（精確到）

（參考數(shù)據(jù)），，，，，，

（參考公式）

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【題目】2016年1月14日，國防科工局宣布，嫦娥四號任務已經(jīng)通過了探月工程重大專項領導小組審議通過，正式開始實施.如圖所示，假設“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子：①；②；③；④.其中正確式子的序號是( )

A.①③B.①④C.②③D.②④

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