【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在上為單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，且，求證：對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增可得，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立；利用導(dǎo)數(shù)求解出在的最小值，從而得到的取值范圍；（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)時(shí)，，在和時(shí)分別得到需恒成立的不等式；令，通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合可證得結(jié)論.

（1）由已知的定義域?yàn)?/span>

所以

在上單調(diào)遞增

對(duì)任意，都有

即

令，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

因?yàn)?/span>時(shí)，總有

（2）當(dāng)時(shí)，

對(duì)定義域內(nèi)的任意正數(shù)，不等式恒成立，即時(shí)，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以只須證：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

令

令，則

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以是的極值點(diǎn)，從而有極小值，即最小值

所以恒成立

在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>

所以當(dāng)時(shí)，，即恒成立；

當(dāng)時(shí)，，即恒成立

所以，對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】今年3月5日，國務(wù)院總理李克強(qiáng)作的政府工作報(bào)告中，提到要“懲戒學(xué)術(shù)不端，力戒學(xué)術(shù)不端，力戒浮躁之風(fēng)”.教育部日前公布的《教育部2019年部門預(yù)算》中透露，2019年教育部擬抽檢博士學(xué)位論文約6000篇，預(yù)算為800萬元.國務(wù)院學(xué)位委員會(huì)、教育部2014年印發(fā)的《博士碩士學(xué)位論文抽檢辦法》通知中規(guī)定：每篇抽檢的學(xué)位論文送3位同行專家進(jìn)行評(píng)議，3位專家中有2位以上（含2位）專家評(píng)議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”.有且只有1位專家評(píng)議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將再送2位同行專家進(jìn)得復(fù)評(píng)，2位復(fù)評(píng)專家中有1位以上（含1位）專家評(píng)議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”.設(shè)每篇學(xué)位論文被每位專家評(píng)議為“不合格”的概率均為，且各篇學(xué)位論文是否被評(píng)議為“不合格”相互獨(dú)立.

（1）記一篇抽檢的學(xué)位論文被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為，求；

（2）若擬定每篇抽檢論文不需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為900元，需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為1500元；除評(píng)審費(fèi)外，其它費(fèi)用總計(jì)為100萬元.現(xiàn)以此方案實(shí)施，且抽檢論文為6000篇，問是否會(huì)超過預(yù)算？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是函數(shù)的極值點(diǎn).

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且.

（參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：（），焦點(diǎn)為，直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且．

（1）求拋物線的方程；

（2）若，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某技術(shù)人員在某基地培育了一種植物,一年后,該技術(shù)人員從中隨機(jī)抽取了部分這種植物的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了如下頻率分布直方圖,已知抽取的樣本植物高度在內(nèi)的植物有8株,在內(nèi)的植物有2株.

(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的,的值;

(Ⅱ)在選取的樣本中,從高度在內(nèi)的植物中隨機(jī)抽取3株,設(shè)隨機(jī)變量表示所抽取的3株高度在內(nèi)的株數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(Ⅲ)據(jù)市場調(diào)研,高度在內(nèi)的該植物最受市場追捧.老王準(zhǔn)備前往該基地隨機(jī)購買該植物50株.現(xiàn)有兩種購買方案,方案一:按照該植物的不同高度來付費(fèi),其中高度在內(nèi)的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照該植物的株數(shù)來付費(fèi),每株6元.請(qǐng)你根據(jù)該基地該植物樣本的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果為決策依據(jù),預(yù)測老王采取哪種付費(fèi)方式更便宜?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．則下列結(jié)論正確的是（ ）．

A.當(dāng)時(shí)，

B.函數(shù)有五個(gè)零點(diǎn)

C.若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

D.對(duì)，恒成立

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿足且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，且.

（1）求證：平面平面；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得二面角的余弦值為？若存在，試求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知p：x2-(3+a)x+3a＜0，其中a＜3；q：x2+4x-5＞0．

（1）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣x2+ax，a∈R．

（Ⅰ）證明lnx≤x﹣1；

（Ⅱ）若a≥1，討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

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