Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈Nⁿ）（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（II）記b_n=2ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（I）令n=1，則2（S₁+1）=a₁²+a₁
∴a₁=-1（舍）或a₁=2
當(dāng)n≥2時(shí)，2（S_n+1）=a_n²+a_n
2（S_n-1+1）=a_n-1²+a_n-1
兩式相減得
2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1
∵a_n＞0
∴a_n-a_n-1=1
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1
∴a_n=n+1
（II）∵b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ
∴T_n=2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ
2T_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹
兩式相減得
-T_n=2+2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=2+
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹
分析：（I）通過仿寫作差將和與項(xiàng)的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為項(xiàng)間的遞推關(guān)系，利用等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)．
（II）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，據(jù)通項(xiàng)特點(diǎn)，選擇利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
點(diǎn)評：求數(shù)列的前n項(xiàng)和，首先求出數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，當(dāng)通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和．