Question

（2008•長寧區(qū)二模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和s_n滿足s₁＞1，且6s_n=（a_n+1）（a_n+2）（n為正整數(shù)）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足bn=

an，n為偶數(shù) 2an，n為奇數(shù)

，求T_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）設(shè)Cn=

bn+1

bn

，(n為正整數(shù))，問是否存在正整數(shù)N，使得n＞N時(shí)恒有C_n＞2008成立？若存在，請求出所有N的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）n=1時(shí)，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．n≥2時(shí)，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0由此能求出a_n．
（2）bn=

3n-1，n為偶數(shù) 23n-1，n為奇數(shù)

，T_n=b₁+b₂+…+b_n．再進(jìn)行分類討論能求出T_n．
（3）Cn=

2an+1 an = 23n+2 3n-1 ，n為偶數(shù) an+1 2an = 3n+2 23n-1 ，n為奇數(shù)

，由此能夠?qū)С?span id="nurhrqr" class="MathJye">Cn≤C1=

5

4

＜2008，因此不存在滿足條件的正整數(shù)N．

解答：解：（1）n=1時(shí)，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．…..（2分）
n≥2時(shí)，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，
兩式相減得：6a_n=a_n²-a_n-1²+3a_n-3a_n-1
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}為等差數(shù)列，a_n=3n-1．…．（6分）
（2）bn=

3n-1，n為偶數(shù) 23n-1，n為奇數(shù)

，T_n=b₁+b₂+…+b_n．…..（7分）
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
T_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=

4(1-8 n 2 )

1-8

+

n 2 (5+3n-1)

2

=

4

7

(8

n

2

-1)+

n(3n+4)

4

，…．（9分）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T_n=（b₁+b₃+…+b_n）+（b₂+b₄+…+b_n-1）
=

4(1-8 n+1 2 )

1-8

+

n-1 2 (5+3n-4)

2

=

4

7

(8

n+1

2

-1)+

(n-1)(3n+1)

4

．…（11分）∴Tn=

4 7 (8 n 2 -1)+ n(3n-4) 4 ，n為偶數(shù) 4 7 (8 n+1 2 -1)+ (n-1)(3n+1) 4 ，n為奇數(shù)

…..（12分）
（3）Cn=

2an+1 an = 23n+2 3n-1 ，n為偶數(shù) an+1 2an = 3n+2 23n-1 ，n為奇數(shù)

，…..（14分）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Cn+2-Cn=

3n+8

23n+5

-

3n+2

23n-1

=

1

23n+5

[3n+8-64(3n+2)]＜0，…（15分）
∴C_n+2＜C_n，
∴{C_n}遞減，…..（16分）
Cn≤C1=

5

4

＜2008，…..（17分）
因此不存在滿足條件的正整數(shù)N．…..（18分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．