Question

已知兩個(gè)正數(shù)a、b．則

a+b

2

≤

a2+b2 2

．三個(gè)正數(shù)a、b、c，則

a+b+c

3

≤

a2+b2+c2 3

；…類比寫出n個(gè)正數(shù)的關(guān)系式并加以證明．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，在兩個(gè)正數(shù)的不等式推理n個(gè)正數(shù)的關(guān)系式時(shí)，我們一般的思路有：由兩個(gè)數(shù)算術(shù)平均數(shù)類比推理為n個(gè)正數(shù)算術(shù)平均數(shù)，由兩個(gè)數(shù)平方的平均數(shù)類比推理為n個(gè)正數(shù)數(shù)平方的平均數(shù)，由算術(shù)平均數(shù)類比推理為幾何平均數(shù)等，故我們可以類比上述性質(zhì)，得到

a 1+a 2+…+a n

n

≤

a 12+a 22+…+a n 2 n

，最后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：對(duì)于兩個(gè)正數(shù)a、b．則

a+b

2

≤

a2+b2 2

．
左式是兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，右式是兩個(gè)數(shù)平方的平均數(shù)的平方根，
對(duì)于三個(gè)正數(shù)a、b有類似的不等式，
在類比寫出n個(gè)正數(shù)的關(guān)系式時(shí)，有：
對(duì)于n個(gè)正數(shù)a₁、a₂，…a_n．則

a 1+a 2+…+a n

n

≤

a 12+a 22+…+a n 2 n

．
欲證：

a 1+a 2+…+a n

n

≤

a 12+a 22+…+a n 2 n

．
只須證明：（a₁+a₂+…+a_n）²≤n（a₁²+a₂²+…+a_n²）
證：①當(dāng)n=1時(shí)顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即（a₁+a₂+…+a_k）²≤k（a₁²+a₂²+…+a_k²）
當(dāng)n=k+1時(shí)，：（a₁+a₂+…+a_k+1）²≤（a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）²=（a₁+a₂+…+a_k）²+2a_k+1（a₁+a₂+…+a_k）+a_k+1²
≤k（a₁²+a₂²+…+a_k²）+2a₁a _k+1+2a₂a_k+1+…+2a_ka _k+1+a_k+1²
≤k（a₁²+a₂²+…+a_k²）+a₁²+a _k+1²+a₂²+a_k+1²+…+a_k²+a _k+1²+a_k+1²
≤（k+1）（a₁²+a₂²+…+a_k²），
即當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，
∴n個(gè)正數(shù)的關(guān)系式：

a 1+a 2+…+a n

n

≤

a 12+a 22+…+a n 2 n

成立．

點(diǎn)評(píng)：本小題是一道類比推理問題，主要考查創(chuàng)新思維能力．事實(shí)上，不等式中的不少定理、結(jié)論都可以類比推廣到n個(gè)正數(shù)中去，值得我們進(jìn)一步去探索和研究．類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．